Le 2 août 1876, à Deadwood, Wild Bill Hickok fut abattu par derrière pendant une partie de poker, et les cartes de sa main sont devenues une légende : une paire d'as et une paire de huit, tous les quatre noirs. Les joueurs de poker appellent encore cette main la main du mort. The story is better known than the maths, and the maths is short. This post counts the hand exactly, then looks at a few other holdings that have nicknames. L'article d'hier sur les voyages, les bateaux et les roues traitait des noms donnés aux valeurs entières ; celui-ci porte sur des mains nommées précises.
Ce qu'était la main, et ce qui est contesté
La partie admise est la double paire : as et huit, généralement donnés comme les as et les huit de pique et de trèfle. La cinquième carte n'est pas admise. Les récits nomment des cartes différentes, et l'histoire semble avoir été arrangée au fil des redites, donc toute « bonne » cinquième carte doit être considérée avec méfiance. C'est pourquoi cet article compte d'abord la main avec une cinquième carte libre, et ne la précise qu'ensuite.
Le surnom s'est attaché plus tard, à mesure que la légende grandissait. Il ne désigne aucun rang dans les règlements. Pour le classement des mains, as et huit est simplement une double paire, avec les as comme paire haute et les huit comme paire basse.
Compter les as et les huit
Un jeu standard distribue C(52, 5) = 2,598,960 mains de cinq cartes différentes, toutes équiprobables. Pour former as et huit avec une cinquième carte quelconque :
- Choisir deux des quatre as : C(4, 2) = 6 façons.
- Choisir deux des quatre huit : C(4, 2) = 6 façons.
- Choisir la cinquième carte parmi les 44 qui ne sont ni un as ni un huit : 44 façons.
Cela donne 6 × 6 × 44 = 1,584 mains, soit 0.061% des donnes, environ une sur 1,641. La cinquième carte doit éviter les as et les huit, car un troisième as ou huit ferait un full à la place.
Comparons maintenant avec le rang complet de la double paire. Il y a 13 × 12 / 2 = 78 paires de rangs, chacune avec les mêmes 36 × 44 = 1,584 mains, ce qui donne 78 × 1,584 = 123,552 mains de double paire. As et huit correspond exactement à 1 de ces 78 combinaisons. Rois et cinq, quatre et trois, et toutes les autres paires de rangs sont tout aussi fréquentes. Le groupe des as par-dessus de l'article précédent compte 12 des 78 et 19,008 mains, donc as et huit représente un douzième des as par-dessus.
Fixer les couleurs et la cinquième carte
La légende est plus précise que « as et huit » : elle nomme les noirs. Chaque paire peut prendre 6 combinaisons de couleurs, donc il y a 6 × 6 = 36 motifs de couleurs, et un seul correspond à pique et trèfle pour les deux paires. En divisant, 1,584 / 36 = 44 mains qui détiennent l'as et le huit de pique et de trèfle, avec une cinquième carte qui complète la double paire. Quatre autres mains, dont la cinquième carte est un autre as ou huit, font un full à la place.
Cela fait une donne sur environ 59,067. Si l'on fixe aussi la cinquième carte, il y a exactement une main sur 2,598,960, quelle que soit la carte choisie. Comme la cinquième carte est contestée, ce dernier chiffre est le même pour chaque candidat. Si les couleurs semblent devoir compter, aucune couleur ne prime sur une autre dans le classement standard, donc noir contre rouge change l'histoire, mais pas la force de la main.
| Description | Mains | Une donne sur |
|---|---|---|
| Toute double paire | 123,552 | 21 |
| As par-dessus (les as sont la paire haute) | 19,008 | 137 |
| As et huit, toutes couleurs, n'importe quelle cinquième carte | 1,584 | 1,641 |
| As noirs et huit noirs, double paire | 44 | 59,067 |
| Une combinaison exacte de cinq cartes | 1 | 2,598,960 |
Autres mains nommées
La plupart des noms célèbres du poker concernent les mains de départ du Texas Hold'em, où un joueur détient deux cartes et où il existe C(52, 2) = 1,326 mains possibles (voir les 1,326 mains de départ). Les comptes sont faciles à vérifier.
- Pocket rockets est une paire d'as : C(4, 2) = 6 des 1,326 mains, soit une sur 221.
- Big Slick est as-roi : 4 × 4 = 16 mains, soit une sur environ 83 (1,326 / 16 = 82.9).
- Le Doyle Brunson est dix-deux, du nom de Doyle Brunson, qui remporta l'Événement principal des World Series of Poker en 1976 et 1977 avec cette main. Elle compte aussi 16 mains, exactement aussi fréquente que Big Slick.
Le schéma rejoint celui de la main du mort. Un surnom marque une histoire, pas une rareté : as-roi et dix-deux apparaissent aussi souvent, et elles n'ont rien de comparable en force.
Ce que montrent les comptes
Une main nommée est utile parce qu'elle donne à une table quelque chose à dire, et une histoire aide à retenir un classement. Les chiffres remettent l'histoire à sa juste place. As et huit bat rois et cinq parce que les as sont plus hauts, et non parce que c'est plus rare, et les as et huit noirs ne sont pas plus forts que les mêmes rangs en rouge. Les comptes détaillés rang par rang figurent dans la fréquence de chaque main de poker à cinq cartes, et deux paires contre deux paires se règlent par la paire haute, puis la paire basse, puis le kicker, comme exposé dans les règles de départage. Those rules mean Hickok's aces and eights would lose to aces and nines, whatever the fifth card.
Pour vérifier avec un vrai jeu, Poker vs Dealer: Offline est un jeu à cinq cartes avec ses propres règles, que la fiche dit différentes du Texas Hold'em, et sa fiche mentionne un écran de règles et de gains dans le jeu ainsi qu'un historique des catégories de mains. Cet article n'affirme rien sur la fréquence à laquelle l'application distribue une main particulière.
Poker vs Dealer: Offline est un jeu de poker à cinq cartes où votre main affronte celle du croupier et le pot de la table. Vous pouvez garder votre main, payer une ante pour forger une carte en l'échangeant contre une nouvelle, ou vous retirer et récupérer la moitié de vos jetons engagés. Il se joue hors ligne, sans publicités ni achats intégrés, et les jetons sont de l'argent de jeu sans valeur monétaire.