3x3のスペースを空けておく：扱いにくいピースのための余地

9x9のボードで問題を起こすのは、3x3の面積を持つピースです。3x3の領域を埋めるわけではないけれど、その大きさの空きが必要な形です。ボードは半分空いていても、そのピースを置く場所がないことがあります。この記事では、そうした形が持つ置き場所を数え、それらの多くを使えなくしてしまうマスはどれかを示します。 Big Ben Blocks: Block Puzzle は9x9のグリッドでプレイされ、行、列、または3x3のボックスを完成させると空きができるため、この数え方がそのまま当てはまります。掲載情報ではピースの名前が書かれていないので、以下の形は一般的なブロックパズルの形であり、ゲームが配る形の一覧ではありません。

3x3の面積を必要とする形

形の面積とは、それを収められる最小の長方形のことです。よく知られた形の中には、9マスよりずっと少ないマスしか使わないのに、3x3の面積を持つものがいくつかあります：

• 3x3の正方形：9マス、面積は完全に埋まる。
• 大きな角：3マスの行と3マスの列が端の1マスを共有する形：3 + 3 − 1 = 5マス。
• 長いT：3マスのバーの中央の下に2マスの軸がある形：3 + 2 = 5マス。
• プラス記号：5マスの十字。

4マスのL、S、Z、Tは2x3の面積を持ち、3マスの角と2x2の正方形は2x2に収まります。直線のバーは1マス幅なので、面積ではなく、マスが連続して空いていることが必要です。

各面積が持つ置き場所の数

幅 w 、高さ h の面積は、空の9x9グリッドで、9 − w + 1 列と、9 − h + 1 行から始められます。それらを掛けます：

3x3の面積は、面積を持つ形の中で配置数が最も少なく、7 x 7 = 49です。そのうちボード自体のボックスに揃うのは9つだけです。ボックスは列1、4、7、行1、4、7から始まるからです。3x3の正方形にとっては、これが有用なケースです。空の揃ったボックスに落とすと、9マスすべてが埋まり、ボックスが完成するからです。残りの40はボックスの境界をまたぎます。24は片方の軸だけ揃い、2つのボックスにまたがり（3 x 4 x 2）、16はどちらの軸も揃わず、4つのボックスにまたがります（4 x 4）。

掲載情報によると、3x3のボックスは完成すると消えるので、空の揃ったボックスは正方形のために取っておく価値があります。5マスの形は、自分の5マスだけが空いていればよいので、面積の残りの4マスには余計なブロックが入ることができます。この形は4つの向きも持ちます。ゲームで回転できる場合（掲載情報では、回転はClassicとAdventureでの補助とされています）、大きな角は空のボードで最大 4 x 49 = 196 通りの配置が可能です。

1つの余計なブロックのコスト

3x3の面積は、開始行 r 、開始列 c から始まり、行 r から r + 2 までを覆います。したがって、行5のブロックは、開始行3、4、5の3つで覆われます。行1のブロックは、開始行1だけで覆われます。列についても同じように数えて掛け合わせます。マスが面積の配置の中に入る数は、それぞれ1、2、3のいずれかである2つの数の積です：

マス数の合計は 25 + 20 + 4 + 20 + 8 + 4 = 81 です。確認として、49配置 x 9マス = 441、そして 25 x 9 + 20 x 6 + 4 x 4 + 20 x 3 + 8 x 2 + 4 x 1 = 441 も同じです。

実用的な読み方は、81マスのうち、中央の5x5の25マスがコストの大きいマスであり、そこに置かれた残りのブロックは一度に9か所を消すということです。端に置いた同じブロックは3以下、角なら1つだけを消します。

9個のブロックで、すべての3x3を止められる

行3、6、9と列3、6、9が交わる9マスを埋めると、ボード上のどの3x3の領域も空いていなくなります。開始位置はそれぞれ連続する3行と連続する3列にまたがり、どの3行の並びも、行3、6、9のいずれかを必ず含み、列についても同様です。したがって、どの面積も9マスのうちの1つを含みます。9マスは81マス中の9マス、ボードの約11%で、残り72マスはすべて空にできます。これより少ない数ではできません。行1、4、7と列1、4、7から始まる9つの配置は重ならないので、それぞれに自分のブロックが必要だからです。

だからボードは、空いて見えるのに詰まって感じられることがあります。

空きを保つための習慣

• 小さなピースは端に置きましょう。 1マスか2マスのピースは、角または端に置くと、場所のコストが最も小さくなります。そこでは6か9ではなく、1から3の配置を消すだけだからです。
• 1つの角から組み立てましょう。 外側に向かって埋めると、空いた領域が1つのまとまりとして保たれます。
• 消して空けましょう。 完成したボックスは3x3の領域を返し、完成した行は1x9の帯を返します。選べるなら、ボックスを取る方が、最も見つけにくい形を返すことになります。

時間制限のないClassicモードは、数え方を練習するのに適した場所です。時計がなく、掲載情報によると、元に戻す、ヒント、回転、ボムが使えるからです。Time AttackとDaily Challengeではそれらの補助がオフになるので、その時点までに習慣を素早く身につけておく必要があります。同じ幾何学は 穴と島の記事で説明されています。に、そして 「すべてのマスを通る3本の線」 の記事で、ここで使われているボックスの数え方を説明しています。