Держим квадрат 3x3 свободным: место для неудобной фигуры

На поле 9x9 проблемы создают фигуры с габаритом 3x3: форма, которая не заполняет область три на три, но требует свободной области такого размера, чтобы в неё встать. Поле может быть наполовину пустым и всё же не иметь места для такой фигуры. Этот пост считает места, которые есть у такой формы, и какие клетки уничтожают больше всего таких мест. Big Ben Blocks: Block Puzzle проходит на сетке 9x9, где заполненные ряды, столбцы или блоки 3x3 освобождают место, поэтому подсчёты применимы напрямую. В её описании фигуры не названы, поэтому формы ниже — типичные формы блочных головоломок вообще, а не список того, что раздаёт игра.

Какие формы требуют габарита 3x3

Габарит фигуры — это наименьший прямоугольник, который её вмещает. Несколько знакомых форм имеют габарит 3x3, хотя используют гораздо меньше девяти клеток:

• Квадрат 3x3: 9 клеток, полностью заполненный габарит.
• Большой угол, ряд из трёх и столбец из трёх с общей крайней клеткой: 3 + 3 − 1 = 5 клеток.
• Длинная T, полоса из трёх с ножкой из двух под серединой: 3 + 2 = 5 клеток.
• Плюс, крест из пяти клеток.

Четырёхклеточные L, S, Z и T имеют габариты 2x3, а трёхклеточный уголок и квадрат 2x2 помещаются в 2x2. Прямые полоски имеют толщину в одну клетку, поэтому им нужен свободный ряд клеток, а не область.

Сколько мест есть у каждого габарита

Габарит шириной w и высотой h может начинаться в 9 − w + 1 столбцах и в 9 − h + 1 рядах пустой сетки 9x9. Перемножьте их:

У габарита 3x3 наименьшее количество позиций среди областных фигур: 7 x 7 = 49. Только 9 из них совпадают с собственными блоками поля, так как блок начинается в столбце 1, 4 или 7 и в ряду 1, 4 или 7. Для квадрата 3x3 это полезный случай: если положить его на пустой выровненный блок, заполнятся все девять клеток и блок закроется. Остальные 40 пересекают границы блоков: 24 совпадают только по одной оси и пересекают два блока (3 x 4 x 2), а 16 не совпадают ни по одной и пересекают четыре (4 x 4).

В описании сказано, что блок 3x3 очищается, когда заполнен, поэтому пустой выровненный блок стоит держать для квадрата. Пятиклеточной фигуре нужны только её пять свободных клеток, поэтому остальные четыре клетки её габарита могут занимать случайные блоки. У фигуры также четыре ориентации. Если игра позволяет поворачивать (в описании сказано, что поворот — помощь в «Классическом» и «Приключении»), у большого угла до 4 x 49 = 196 размещений на пустом поле.

Во что обходится один случайный блок

Габарит 3x3, начинающийся с ряда r и столбца c покрывает ряды r до r + 2. Так блок в ряду 5 покрывается стартовыми рядами 3, 4 и 5: три из них. Блок в ряду 1 покрывается только стартовым рядом 1: один. Посчитайте то же по столбцам и перемножьте. Число позиций габарита, в которые попадает клетка, — это произведение двух чисел, каждое из которых 1, 2 или 3:

Количество клеток складывается: 25 + 20 + 4 + 20 + 8 + 4 = 81. Для проверки: 49 позиций x 9 клеток = 441, и 25 x 9 + 20 x 6 + 4 x 4 + 20 x 3 + 8 x 2 + 4 x 1 = 441 тоже.

Практический вывод: 25 из 81 клетки, средняя 5x5, — дорогие, и оставленный там блок убирает сразу девять позиций. Тот же блок у края убирает три или меньше, а в углу — только одну.

Девяти блоков достаточно, чтобы остановить каждый 3x3

Заполните девять клеток, где ряды 3, 6 и 9 пересекаются со столбцами 3, 6 и 9, и ни одна область 3x3 на поле не будет свободной. Каждая стартовая позиция охватывает три подряд идущих ряда и три подряд идущих столбца, и любой набор из трёх рядов обязательно содержит один из рядов 3, 6 и 9; то же для столбцов. Поэтому каждый габарит содержит одну из девяти клеток. Девять клеток — это 9 из 81, около 11% поля, а остальные 72 клетки могут быть пустыми. Меньше не получится: девять позиций, которые начинаются в рядах 1, 4 или 7 и столбцах 1, 4 или 7, не пересекаются, поэтому каждой нужен свой блок.

Поэтому поле может казаться заблокированным, хотя выглядит открытым.

Привычки, которые сохраняют место

• Ставьте мелкие фигуры к краю. Фигура из одной или двух клеток стоит меньше всего места в углу или у края, где она убирает от 1 до 3 позиций, а не 6 или 9.
• Стройте от одного угла. Заполнение наружу оставляет свободную область одним участком.
• Очищайте, чтобы снова открыть место. Заполненный блок возвращает область 3x3, а заполненный ряд — полоску 1x9. Если есть выбор, берите блок: так вы вернёте ту форму, которую труднее всего найти.

Режим «Классический» без таймера — лучшее место для тренировки подсчёта: там нет часов, и, согласно описанию, доступны отмена хода, подсказки, поворот и бомба. «Атака на время» и «Ежедневный вызов» эти помощи отключают, поэтому к тому времени навык должен работать быстро. Та же геометрия встречается в дырах и островах, а трёх линиях через каждую клетку объясняется подсчёт блоков, который здесь используется.