パットハンド：5枚の交換が不要になる頻度

ドローポーカーでは、ハンドについての最初の問いは、どのカードを残すかである。ごく少数のハンドでは、答えは全部残すことである。それらは パット と呼ばれ、その正確な数は標準的な5枚ハンドの表からの短い計算で求まる。

「パット」の意味

パットハンドとは、5枚すべてが完成した役に関与しているハンドのことである。そのため、どのカードを交換しても、役が悪くなるか変わらないかのどちらかである。実際には、 ストレート以上のことである：ストレート、フラッシュ、フルハウス、フォー・オブ・ア・カインド、またはストレートフラッシュ（ロイヤルフラッシュは最上位のストレートフラッシュ）。スリー・オブ・ア・カインド、ツーペア、ワンペアはパットではない。これらは2枚、1枚、または3枚のカードが役に寄与しないため、余ったカードは通常交換の対象となる。

この言葉は緩く使われる。割らないと決めたハンドを「パット」と呼ぶプレイヤーもおり、ゲームによっては、より強いドローのために特定のストレートやフラッシュを崩す価値があることもある。この投稿では、単純な定義を用いる。ストレート以上で、交換するものがないこと。

パットハンドを数える

標準的な52枚のデッキは、C(52, 5) = 2,598,960 通りの5枚ハンドを配り、それぞれが等しく起こりうる。各パット役の数は短い計算で求まる：

• ストレートフラッシュ（40）： 開始ランクは10通り（エースロー（A-5）からエースハイまで）、それに4つのスートを掛ける。そのうち36は通常のストレートフラッシュ、4はロイヤルフラッシュである。
• フォー・オブ・ア・カインド（624）： 4枚分のランクとして13通り、残りの48枚のうち任意の1枚：13 × 48。
• フルハウス（3,744）： 13のランクと、そのうち3つを選ぶ4通り、続いて12のランクと、ペアを選ぶ6通り：13 × 4 × 12 × 6。
• フラッシュ（5,108）： 4つのスートに、13ランクから5つを選ぶ C(13, 5) = 1,287 通りを掛けると 5,148。そこからストレートフラッシュの40を引く。
• ストレート（10,200）： 開始ランクが10通り、各カードが4つのスートのいずれかになるため 10 × 4⁵ = 10,240。そこから同じ40のストレートフラッシュを引く。

合計すると、10,200 + 5,108 + 3,744 + 624 + 36 + 4 = 19,716. Divide by 2,598,960 and the share is 0.76% （小数第3位まで0.759%）。逆に言えば、およそ132回のディールに1回がパットである。2,598,960 ÷ 19,716 は131.8になるためである。残りの2,579,244通り、全ディールの99.24%は、交換を検討しうるカードが少なくとも1枚ある。

19,716の内訳

内訳は偏っている。ストレートとフラッシュで15,308通り、19,716通りの77.6%を占める。残りは少ない：

ストレートだけで、他の4つのカテゴリを合わせた数（9,516）を上回る（10,200対9,516）。フルハウス以上はわずか4,408通り、0.17%、およそ590回に1回である。この順序は、なぜフラッシュがストレートに勝るのかを説明しており、 フラッシュがストレートに勝つ理由 は詳細を扱っている。

残りのディール

各ディールを、どうするかで分類すると3つのグループになる：

1. ハイカード、1,302,540通り（50.12%）。 ワンペアなし、ストレートなし、フラッシュなし。ドローを探すか、ゼロから始める状況である。
2. ペア、ツーペア、またはスリー・オブ・ア・カインド、1,276,704通り（49.12%）。 余ったカードを伴う完成済みのハンド。これらが通常の交換判断である。
3. パット、19,716通り（0.76%）。 交換するものがない。

3つの数の合計は2,598,960になる。中間のグループについては、 カードを交換するときにワンペアを強化する確率 交換の価値がどれほどになるかを扱っている。

待つ時間

1 in 132 は、132回のハンドごとに1回という意味ではない。各ディールは独立とみなし、パットの確率を p = 19,716 ÷ 2,598,960 = 0.759% として、n回のディールで少なくとも1回パットが出る確率は 1 − (1 − p)ⁿ:

• 50回のディールでは：31.7%。
• 100回のディールでは：53.3%。
• 132回のディールでは：63.4%で、100%ではない。
• 500回のディールでは：97.8%。

したがって、100ハンドの夜は、パットハンドを1回含める確率が、コイントスよりわずかに良いという程度である。短い時間のうちに2回や3回あるのも、まったく無いのと同じくらいありふれている。

Poker vs Dealer との関係

Valley Railでは、 Poker vs Dealer: Offline あなたの5枚は、ディーラーとテーブルのポットを争う。ストアのページには、ハンドを保持する、アンティを払って1枚を新しいカードと交換する、または降りて投入したチップの半分を取り戻す、と書かれている。パットハンドは保持する最も明確な例である。なぜなら、交換して取り替える価値のあるカードがないからである。ストアページには、このゲームが独自の5枚ルールを使い、ゲーム内にルールと配当の画面があるとも書かれているので、ハンドの強さや支払いについてはそこを確認するとよい。上記の数値は配られたハンドについての標準的な5枚の計算であり、アプリがどれほどの頻度でそれを配るかについての主張ではない。

有用な結論は比率である。およそ132回のディールに1回がパットなので、ほとんどすべてのハンドが判断を要する。身につけるべき練習は、残りの99.24%にある。