スキャッターシンボル：5リールで3つそろう確率

多くのスロットにはスキャッターがあります。これは、どこに止まっても配当が付くか機能を起動するシンボルで、左から揃える必要はありません。そのため、3つ揃える確率は、ライン型やウェイ型の計算とは別の計算になります。この記事では、作り上げたリールを使ってその計算を示します。数字は手法の説明のためのもので、文末で挙げたゲームを含め、実在するゲームのリール、シンボル数、機能の出現率ではありません。

図解の設定

5リールのスロットに、どのリールにも出現しうるスキャッターがあると仮定します。各リールで、少なくとも1つのスキャッターが見えている確率は p = 0.2、つまり5回に1回とします。5つのリールは独立と見なします。すなわち、あるリールの出目が別のリールに影響しないとします。どちらも単純化であり、実際のゲームのリールは大きく異なるかもしれません。しかし、これは明快なモデルを与えており、それが標準的なモデルです。

これらの前提のもとでは、各リールは確率0.2で「はい」となる二者択一の試行です。スキャッターを示すリールの数は、 k、二項分布に従います。

公式と、その仕組み

5リールのうちちょうど k 個のスキャッターリールが出る確率は

P(k) = C(5, k) × p^k × (1 − p)^5−k

この式は3つの部分からなります。 p^k は、 k 選んだリールすべてがスキャッターを示す確率です。(1 − p)^5−k は、残りのリールがすべて外れる確率です。C(5, k) は、当たりになりうる異なるリールの組み合わせの数を数えます。スキャッターは、リール1、2、3に出ることも、2、4、5に出ることも、ほかの任意の3つに出ることもあるからです。

ちょうど3つの場合、C(5, 3) = 10 なので：

P(3) = 10 × 0.2³ × 0.8² = 10 × 0.008 × 0.64 = 0.0512、すなわち 5.12%

分布全体

同じ計算を、すべての個数について次の値で行います： p = 0.2:

列の合計を確認してください：32.768 + 40.960 + 20.480 + 5.120 + 0.640 + 0.032 = 100.000。二項分布の表が100%にならない場合、どこかに計算の誤りがあります。また、平均は次の値になることにも注目してください： n × p = 5 × 0.2 = 1、つまり1回のスピンあたり1リールのスキャッターで、最も起こりやすい単一の結果はちょうど1つです。

3つ以上

3つのスキャッターで起動する機能は、通常4つや5つでも起動するため、重要なのは「少なくとも3つ」という数字です。下の3行を足し合わせます：

5.120% + 0.640% + 0.032% = 5.792%

これは17.3回に1回の確率です。つまりこのモデルでは、平均して約17回に1回、起動が期待されます。長い和を足さずに済む近道は、最初の3行を1から引くことです：1 − (32.768% + 40.960% + 20.480%) = 5.792%。両方の方法が一致し、これは保つ価値のある確認の習慣です。ただし、平均は約束ではありません： スロットに「次の当たり」がない理由 は、何も間違っていなくても不発が続く期間がどれほど長くなりうるかを示しています。

答えがどれほど敏感か

1リールあたりの確率は、すべての前提となる数字であり、結果はそれに比例するどころではありません。同じ公式を次の値を変えて計算すると、 p:

p p = 0.1のとき、3つ以上の確率は0.856%で、約117回に1回です。0.2のときは5.792%で、1リールあたりの確率を倍にしたことで、起動率は 5.792 ÷ 0.856 = 6.8倍になりました。理由は、3つのことが同時に起きなければならず、そのため1リールあたりの確率が3乗の形で和に入ることです。同じ起動条件を次の値で見てみましょう： p = 0.3：10 × 0.027 × 0.49 + 5 × 0.0081 × 0.7 + 0.00243 = 0.1323 + 0.02835 + 0.00243 = 16.31%。スキャッターの出現頻度がわずかに変わるだけで、起動率は大きく変わります。

このモデルが除外していること

• 1つのリールに複数のスキャッターがある場合。 このモデルは、少なくとも1つのスキャッターがあるリールを数えます。すべてのスキャッターを数えるゲームでは、別の集計が必要です。
• リールごとに異なる場合。 もし p がリールごとに異なる場合、単純な公式はそのままでは正確に当てはまりませんが、考え方は当てはまります。
• リール間の依存関係。 この和は、次の記事と同様に独立性を前提としています： 独立したスピンに関する以前の記事.

スキャッターがウェイとどう違うか

ウェイ・トゥ・ウィンのゲームでは、シンボルは左から連続するリールに出現しなければならず、リール上の一致する追加シンボルごとに数え上げが掛け算で増えます。これは次の記事で説明されています： 243ウェイズが意味すること. A scatter ignores position. Three scatter reels out of five can be reels 1, 3 and 5, with nothing between, and still count. That is why the C(5, k) の項が重要です。これは、すべて条件を満たす多くの配置を数えます。

掲載情報の Brasslight Slots: Casino Games は、毛糸玉を3つ揃えるとYarn Pickのボーナスラウンドが開くと述べています。毛糸がスキャッターとして機能するか、どれくらいの頻度で出るか、リールにどう配置されるかは述べていないため、この記事ではそのいずれも主張しません。上の0.2は計算しやすいために選んだ数字にすぎません。掲載情報が確認しているのは問いの形だけです。つまり、あるシンボルが3つそろうと機能が起動します。シンボルが出うるリールを数え、1リールあたりの確率を見積もれば、二項公式がオッズを与えます。

自分で確かめる

1. 5.12%を再現してみましょう。 0.2 × 0.2 × 0.2 = 0.008 を計算し、0.8 × 0.8 = 0.64 を掛け、さらに10を掛けます。0.0512 になるはずです。
2. 余事象を使いましょう。 スキャッターリールが0個、1個、2個になる確率を足し、1から引きます。0.05792 になるはずです。