De nombreuses machines à sous ont un symbole dispersé : un symbole qui paie ou déclenche une fonction où qu'il tombe, sans qu'il faille l'aligner à partir de la gauche. Les chances d'en réunir trois forment donc une somme différente de celle d'une ligne ou d'une voie. Cet article la calcule avec un rouleau fictif. Les chiffres illustrent la méthode. Ce ne sont pas les rouleaux, les nombres de symboles ou les taux de fonction d'un jeu réel, y compris celui qui est nommé à la fin.
Mise en place de l'exemple
Supposons qu'une machine à cinq rouleaux comporte un symbole dispersé pouvant apparaître sur n'importe quel rouleau, et que, sur chaque rouleau, la probabilité qu'au moins un symbole dispersé soit visible soit p = 0.2, soit 1 sur 5. Considérez les cinq rouleaux comme indépendants : ce qu'affiche un rouleau n'influence pas un autre. Ce sont deux simplifications, et les rouleaux d'un jeu réel peuvent très bien différer. Mais elles donnent un modèle clair, et c'est le modèle standard.
Avec ces hypothèses, chaque rouleau est une épreuve oui-ou-non avec une probabilité de 0.2 pour oui. Le nombre de rouleaux affichant un symbole dispersé, k, suit une loi binomiale.
La formule, et pourquoi elle fonctionne
La probabilité d'obtenir exactement k rouleaux à symbole dispersé sur 5 est
P(k) = C(5, k) × pk × (1 − p)5−k
Il y a trois éléments. pk est la probabilité que k les rouleaux choisis affichent tous un symbole dispersé. (1 − p)5−k est la probabilité que les autres rouleaux n'en affichent aucun. C(5, k) compte le nombre d'ensembles différents de rouleaux pouvant être les gagnants, car les symboles dispersés peuvent se trouver sur les rouleaux 1, 2 et 3, ou 2, 4 et 5, ou tout autre trio.
Pour exactement trois, C(5, 3) = 10, donc :
P(3) = 10 × 0.23 × 0.82 = 10 × 0.008 × 0.64 = 0.0512, soit 5.12%
La distribution complète
Le même calcul pour chaque nombre, avec p = 0.2:
| Rouleaux à symbole dispersé | Calcul | Probabilité |
|---|---|---|
| 0 | 1 × 0.85 | 32.768% |
| 1 | 5 × 0.2 × 0.84 | 40.960% |
| 2 | 10 × 0.22 × 0.83 | 20.480% |
| 3 | 10 × 0.23 × 0.82 | 5.120% |
| 4 | 5 × 0.24 × 0.8 | 0.640% |
| 5 | 1 × 0.25 | 0.032% |
Vérifiez que la colonne fait bien le total : 32.768 + 40.960 + 20.480 + 5.120 + 0.640 + 0.032 = 100.000. Si un tableau binomial ne totalise pas 100%, c'est qu'une erreur de calcul s'est glissée quelque part. Remarquez aussi que la moyenne est n × p = 5 × 0.2 = 1 rouleau à symbole dispersé par tour, et le résultat le plus probable à lui seul est exactement un.
Trois ou plus
Une fonction déclenchée par trois symboles dispersés l'est normalement aussi par quatre ou cinq, donc le chiffre qui compte est « au moins trois ». Additionnez les trois dernières lignes :
5.120% + 0.640% + 0.032% = 5.792%
Cela fait 1 chance sur 17.3, donc dans ce modèle on attend le déclenchement environ une fois toutes les 17 tours en moyenne. Le raccourci qui évite d'additionner de longues listes consiste à soustraire de 1 les trois premières lignes : 1 − (32.768% + 40.960% + 20.480%) = 5.792%. Les deux méthodes concordent, et c'est l'habitude de vérification à conserver. Les moyennes ne sont toutefois pas des promesses : pourquoi une machine n'est jamais « due » montre combien de temps une série sans résultat peut durer sans que rien ne soit faux.
Sensibilité du résultat
La probabilité par rouleau est le nombre dont dépend tout, et le résultat n'est pas du tout proportionnel à elle. En appliquant la même formule à d'autres valeurs de p:
Pour p = 0.1, la probabilité de trois ou plus est de 0.856%, soit environ 1 sur 117. Pour 0.2, elle est de 5.792%, et doubler la probabilité par rouleau a multiplié le taux de déclenchement par 5.792 ÷ 0.856 = 6.8. La raison : trois événements doivent se produire en même temps, donc la probabilité par rouleau entre dans la somme au cube. Prenons le même déclenchement pour p = 0.3 : 10 × 0.027 × 0.49 + 5 × 0.0081 × 0.7 + 0.00243 = 0.1323 + 0.02835 + 0.00243 = 16.31%. Un petit changement de fréquence des symboles dispersés modifie beaucoup le taux de déclenchement.
Ce que le modèle laisse de côté
- Plusieurs symboles dispersés sur un même rouleau. Le modèle compte les rouleaux ayant au moins un symbole dispersé ; un jeu qui compte chaque symbole dispersé a besoin d'un autre décompte.
- Rouleaux inégaux. Si p varie d'un rouleau à l'autre, la formule simple ne s'applique plus exactement, même si l'idée reste valable.
- Dépendance entre les rouleaux. La somme suppose l'indépendance, comme dans l'article précédent sur les tours indépendants.
Pourquoi un symbole dispersé diffère d'une combinaison par voies
Dans un jeu à gains par voies, un symbole doit apparaître sur des rouleaux consécutifs à partir de la gauche, et chaque symbole identique supplémentaire sur un rouleau multiplie le nombre de combinaisons, comme expliqué dans ce que signifient les 243 façons de gagner. A scatter ignores position. Three scatter reels out of five can be reels 1, 3 and 5, with nothing between, and still count. That is why the C(5, k) Le terme ) de la formule compte : il dénombre les nombreuses dispositions qui sont toutes admissibles.
La fiche de Brasslight Slots: Casino Games indique que trois pelotes de laine ouvrent la manche de bonus Yarn Pick. Elle ne dit pas si la laine se comporte comme un symbole dispersé, à quelle fréquence elle apparaît, ni comment elle est placée sur les rouleaux ; cet article n'affirme donc rien de tout cela, et le 0.2 ci-dessus est un nombre choisi pour le calcul, rien de plus. Ce que la fiche confirme, en revanche, c'est la forme de la question : trois symboles identiques déclenchent une fonction. Comptez les rouleaux où il peut apparaître, estimez la probabilité par rouleau, et la formule binomiale donne les chances.
Le vérifier vous-même
- Retrouvez le 5.12%. Calculez 0.2 × 0.2 × 0.2 = 0.008, multipliez par 0.8 × 0.8 = 0.64, puis par 10. Vous devez obtenir 0.0512.
- Utilisez le complément. Additionnez les probabilités de zéro, un et deux rouleaux à symbole dispersé, puis soustrayez le total de 1. Vous devez obtenir 0.05792.
Brasslight Slots: Casino Games est une machine à 5 rouleaux sur le thème des chats, avec 243 voies gagnantes, un bonus Yarn Pick, une roue de prix quotidienne et les tours Turbo et Auto. Elle n'utilise que des pièces virtuelles, sans argent réel, et les pièces et gemmes n'ont aucune valeur monétaire.