1 326 стартовых рук, 169 типов: подсчёт комбинаций в Hold'em

Две карты из колоды в 52 карты можно раздать 1 326 способами, а в таблице рук записей намного меньше. Разница в мастях: они важны для флешей, но не для ранга стартовых карт. В этой записи считаются 1 326 комбинаций, показано, как они сводятся к 169 типам, а затем — как ваши собственные карты исключают часть возможных рук соперника.

Откуда берутся 1 326

Первой может быть любая из 52 карт. Второй — любая из оставшихся 51. Это 52 × 51 = 2 652 упорядоченных раздачи, но порядок получения карт не важен, поэтому каждая рука посчитана дважды. Делим на два:

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1 326.

Получить сначала A♠, а затем K♥ — та же рука, что получить сначала K♥, а затем A♠.

Сведение 1 326 к 169 типам

Две руки относятся к одному типу, если у них одинаковые ранги и обе одномастные или обе разномастные (пары не относятся ни к тем, ни к другим). Всего три вида, и у каждого своё число комбинаций.

1. Пары: 13 типов, по 6 комбинаций каждый. Выбрать 2 из 4 мастей одного ранга: C(4, 2) = 6. Для тузов это A♠A♥, A♠A♦, A♠A♣, A♥A♦, A♥A♣ и A♦A♣. Итого: 13 × 6 = 78.
2. Одномастные непарные руки: 78 типов, по 4 комбинации каждый. Выбрать два разных ранга, C(13, 2) = 78, и обе карты должны быть одной из 4 мастей. Итого: 78 × 4 = 312.
3. Разномастные непарные руки: 78 типов, по 12 комбинаций каждый. Для тех же 78 пар рангов есть 4 × 4 = 16 вариантов мастей, и 4 из них одномастные, значит, 16 − 4 = 12. Итого: 78 × 12 = 936.

Типы: 13 + 78 + 78 = 169. Комбинации: 78 + 312 + 936 = 1 326, так что ничего не пропущено и ничего не посчитано дважды.

Что говорят подсчёты

У каждого типа пары 6 комбинаций, у каждого одномастного типа 4, у каждого разномастного 12. Поэтому конкретная пара, например королевская, приходит в 6 ÷ 1 326 = 0,45% раздач, примерно 1 раз из 221. Конкретная одномастная рука, например туз-король одномастные, приходит в 4 ÷ 1 326 = 0,30% раздач. Конкретная разномастная рука, например туз-король разномастные, — в 12 ÷ 1 326 = 0,90% раздач.

Отсюда следуют эти соотношения, которые можно проверить по итогам:

• Туз-король разномастные встречается втрое чаще, чем туз-король одномастные (12 против 4).
• Туз-король разномастные встречается вдвое чаще, чем конкретная пара (12 против 6).
• Любая пара вообще составляет 78 ÷ 1 326 = 5,9% раздач, примерно 1 из 17.

Противоположный пример — посте об одномастных и разномастных руках использует то же соотношение 4 к 12, чтобы подсчитать, сколько добавляет совпадающая масть.

Удаление карт: ваши карты меняют карты соперника

Подсчёты выше относятся к новой колоде. Когда вы посмотрели свои две карты, соперник получает карты из остальных 50, поэтому у него может быть C(50, 2) = 1 225 рук. Исчезающие 101 рука — это те, в которых есть одна из ваших карт: 51 + 51 − 1, потому что ваша собственная рука учтена в обоих списках.

Одни типы теряют гораздо больше других.

• У вас A♠K♥. Остаются три туза, поэтому у соперника C(3, 2) = 3 комбинации тузов вместо 6. Короли те же: 3 вместо 6. Сам туз-король падает с 16 комбинаций до 3 × 3 = 9, из которых 2 одномастные (A♦K♦ и A♣K♣) и 7 разномастных.
• У вас A♠A♥. Остаются только два туза, поэтому у соперника C(2, 2) = 1 комбинация тузов вместо 6. Туз-король падает с 16 комбинаций до 2 × 4 = 8. Короли не затронуты: 6.

Эффект в том, что рука, разделяющая с вашей один ранг, становится реже. Если у вас туз, соперник с двумя тузами гораздо менее вероятен, чем показывает подсчёт по новой колоде, а соперник с туз-королём тоже менее вероятен, поскольку тузов для него осталось меньше. Это важно и тогда, когда доминируют вашу руку, как в записи о доминируемых руках: туз на вашей руке означает одного туза меньше у соперника.

Как читать цифры

Типичная ошибка — считать три вида одинаковыми. Ячейка таблицы для туз-король разномастные и ячейка для пары королей выглядят одинаково, но первая охватывает вдвое больше раздач. Сравнивать долю рук, которую покрывает диапазон, нужно по комбинациям, а не по ячейкам.

1. Пары считайте по 6, одномастные по 4, разномастные по 12. Сложите типы диапазона с этими весами и разделите на 1 326, чтобы получить долю всех раздач.
2. Вычтите для собственных карт. Пары ранга, который есть у вас, падают до 3 комбинаций, если у вас одна карта этого ранга, и до 1, если две.
3. Делите на 1 225, а не на 1 326, когда ваши две карты известны, если вы хотите узнать шанс соперника держать данную руку.

Например, если у вас A♠K♥, шанс, что у соперника пара тузов, равен 3 ÷ 1 225 = 0,24%, против 6 ÷ 1 326 = 0,45% по новой колоде.

Урок ««Таблицы стартовых рук»» в Holdem Coach: Poker Trainer показывает с первого взгляда, какие двухкарточные руки играть с каждого места, а урок «Какие руки играть» спрашивает, стоит ли повышать с этими двумя картами, когда никто ещё не сделал ставку. Знание того, сколько раздач приходится на каждый тип, говорит, как часто он выпадает.