Deux cartes tirées d'un paquet de 52 peuvent être distribuées de 1,326 façons, et une table des mains compte beaucoup moins d'entrées que cela. La différence tient aux couleurs, qui comptent pour les couleurs mais pas pour la valeur de vos cartes de départ. Cet article compte les 1,326, montre comment elles se regroupent en 169 types, puis comment vos propres cartes retirent une partie des mains possibles de votre adversaire.
D'où vient le 1,326
La première carte peut être l'une des 52. La seconde peut être l'une des 51 restantes. Cela fait 52 × 51 = 2,652 distributions ordonnées, mais l'ordre de réception des cartes n'a pas d'importance, si bien que chaque main a été comptée deux fois. Divisez par deux :
C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1,326.
Recevoir A♠ puis K♥ revient à la même main que recevoir K♥ puis A♠.
Regrouper les 1,326 mains en 169 types
Deux mains sont du même type si elles ont les mêmes valeurs et sont toutes deux de même couleur ou toutes deux de couleurs différentes (une paire n'est ni l'un ni l'autre). Il existe trois sortes, chacune avec son propre nombre de combinaisons.
- Paires : 13 types, 6 combinaisons chacun. Choisissez 2 des 4 couleurs d'une valeur : C(4, 2) = 6. Pour les as, cela donne A♠A♥, A♠A♦, A♠A♣, A♥A♦, A♥A♣ et A♦A♣. Total : 13 × 6 = 78.
- Non-paires de même couleur : 78 types, 4 combinaisons chacun. Choisissez deux valeurs différentes, C(13, 2) = 78, et les deux cartes doivent partager l'une des 4 couleurs. Total : 78 × 4 = 312.
- Non-paires de couleurs différentes : 78 types, 12 combinaisons chacun. Les mêmes 78 couples de valeurs ont 4 × 4 = 16 combinaisons de couleurs, dont 4 sont de même couleur, soit 16 − 4 = 12. Total : 78 × 12 = 936.
Types : 13 + 78 + 78 = 169. Combinaisons : 78 + 312 + 936 = 1,326, rien ne manque et rien n'est compté deux fois.
Ce que disent les décomptes
Chaque type de paire compte 6 combinaisons, chaque type de même couleur 4 et chaque type de couleurs différentes 12. Ainsi, une paire donnée, par exemple des rois, sort 6 ÷ 1,326 = 0.45% du temps, soit environ 1 fois sur 221. Une main de même couleur donnée, par exemple as-roi de même couleur, sort 4 ÷ 1,326 = 0.30% du temps. Une main de couleurs différentes donnée, par exemple as-roi de couleurs différentes, sort 12 ÷ 1,326 = 0.90% du temps.
Cela donne ces rapports, que vous pouvez vérifier à partir des totaux :
- L'as-roi de couleurs différentes est trois fois plus fréquent que l'as-roi de même couleur (12 contre 4).
- L'as-roi de couleurs différentes est deux fois plus fréquent qu'une paire donnée (12 contre 6).
- Toute paire confondue représente 78 ÷ 1,326 = 5.9% des distributions, soit environ 1 fois sur 17.
La article sur les mains assorties ou non utilise la même répartition 4 contre 12 pour calculer ce qu'ajoute une couleur identique.
Retrait de cartes : vos cartes modifient celles de l'adversaire
Les décomptes ci-dessus valent pour un paquet neuf. Une fois que vous avez regardé vos deux cartes, votre adversaire est servi parmi les 50 autres, il peut donc détenir C(50, 2) = 1,225 mains. Les 101 mains disparues sont celles qui contiennent l'une de vos cartes : 51 + 51 − 1, car votre propre main figure dans les deux listes.
Certains types perdent bien plus que d'autres.
- Vous détenez A♠K♥. Il reste trois as, donc l'adversaire a C(3, 2) = 3 combinaisons d'as au lieu de 6. Les rois sont pareils, 3 au lieu de 6. L'as-roi lui-même passe de 16 combinaisons à 3 × 3 = 9, dont 2 de même couleur (A♦K♦ et A♣K♣) et 7 de couleurs différentes.
- Vous détenez A♠A♥. Il ne reste que deux as, donc l'adversaire a C(2, 2) = 1 combinaison d'as au lieu de 6. L'as-roi passe de 16 combinaisons à 2 × 4 = 8. Les rois ne sont pas touchés, toujours 6.
L'effet est qu'une main partageant une valeur avec la vôtre devient plus rare. Quand vous détenez un as, un adversaire qui a deux as est bien moins probable que ne le laisse croire le décompte d'un paquet neuf, et un adversaire qui a as-roi l'est aussi, puisqu'il y a moins d'as à détenir. Cela compte aussi lorsque votre main est celle qui est dominée, comme dans l'article sur les mains dominées : l'as de votre main est un de moins pour lui.
Lire les chiffres
Traiter les trois sortes de la même façon est l'erreur habituelle. Une case de table pour as-roi de couleurs différentes et une case pour une paire de rois paraissent de même taille, pourtant la première couvre deux fois plus de distributions. Compter les combinaisons plutôt que les cases permet de comparer la part des mains couvertes par une plage.
- Comptez les paires à 6, les mains de même couleur à 4, et les mains de couleurs différentes à 12. Additionnez les types d'une plage avec ces coefficients et divisez par 1,326 pour obtenir la part de toutes les distributions.
- Retranchez pour vos propres cartes. Les paires d'une valeur que vous détenez tombent à 3 combinaisons si vous en détenez une carte, et à 1 si vous en détenez deux.
- Divisez par 1,225, et non par 1,326, une fois vos deux cartes connues, si vous voulez la chance de votre adversaire de détenir une main donnée.
Par exemple, si vous détenez A♠K♥, la chance que l'adversaire ait une paire d'as est de 3 ÷ 1,225 = 0.24%, contre 6 ÷ 1,326 = 0.45% depuis un paquet neuf.
Toute main se compte en combinaisons. Une paire vaut 6, une main de même couleur 4, une main de couleurs différentes 12, sur 1,326, et chaque carte que vous voyez retire les combinaisons qui en ont besoin.
La leçon « Hand charts » dans Holdem Coach: Poker Trainer montre d'un coup d'œil quelles mains de deux cartes jouer depuis chaque place, et la leçon « Which hands to play » demande si vos deux cartes valent une relance quand personne n'a encore misé. Savoir combien de distributions représente chaque type indique à quelle fréquence il sort.
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