初手は1,326通り、種類は169：Hold'emのコンボを数える

52枚のデッキから2枚を配る方法は1,326通りあり、ハンドの表にはそれよりずっと少ない項目しかありません。その差はスートによるもので、フラッシュには重要ですが、スターティングカードのランクには関係ありません。この記事では1,326通りを数え、それが169種類にどうまとまるかを示し、さらに自分のカードが相手の持てるハンドの一部をどう除去するかを示します。

1,326はどこから来るか

1枚目は52枚のどれでもよく、2枚目は残りの51枚のどれでもかまいません。つまり 52 × 51 = 2,652 通りの順序付きの配りがありますが、カードを受け取る順序は重要ではないので、それぞれのハンドは2回数えられています。2で割ります：

C(52, 2) = 52 × 51 ÷ 2 = 1,326。

A♠を持ってからK♥を持つことは、K♥を持ってからA♠を持つことと同じハンドです。

1,326を169種類にまとめる

2つのハンドは、ランクが同じで、どちらもスーテッドであるか、どちらもオフスートである場合に同じ種類です（ペアはどちらでもありません）。3種類があり、それぞれに固有の組み合わせ数があります。

1. ペア：13種類、各6コンボ。 あるランクの4つのスートから2つを選ぶ：C(4, 2) = 6。エースの場合、A♠A♥、A♠A♦、A♠A♣、A♥A♦、A♥A♣、A♦A♣です。合計：13 × 6 = 78。
2. スーテッドの非ペア：78種類、各4コンボ。 2つの異なるランクを選ぶ：C(13, 2) = 78、そして両方のカードは4つのスートのどれか1つを共有しなければなりません。合計：78 × 4 = 312。
3. オフスートの非ペア：78種類、各12コンボ。 同じ78のランクの組は、4 × 4 = 16 通りのスートの組み合わせがあり、そのうち4つがスーテッドなので、16 − 4 = 12。合計：78 × 12 = 936。

種類：13 + 78 + 78 = 169。組み合わせ：78 + 312 + 936 = 1,326。抜けも二重計上もありません。

数えると何がわかるか

各ペアの種類は6コンボ、各スーテッドの種類は4コンボ、各オフスートの種類は12コンボです。したがって、キングのような特定のペアは、6 ÷ 1,326 = 0.45%の確率で配られ、約221回に1回です。エース・キングのスーテッドのような特定のスーテッドのハンドは、4 ÷ 1,326 = 0.30%の確率で来ます。エース・キングのオフスートのような特定のオフスートのハンドは、12 ÷ 1,326 = 0.90%の確率で来ます。

これにより、次の比率が得られます。合計から確認できます：

• エース・キングのオフスートは、エース・キングのスーテッドの3倍よく来ます（12対4）。
• エース・キングのオフスートは、特定のペアの2倍よく来ます（12対6）。
• どのペアでも、配りの 78 ÷ 1,326 = 5.9% で、約17回に1回です。

でした。一方、 スーテッドとオフスートの記事 では、同じ4対12の比率を使って、一致するスートがどれだけ加わるかを計算しています。

カードの除去：自分のカードが相手のカードを変える

上の数は新品のデッキに対するものです。自分の2枚を見た後は、相手は残りの50枚から配られるので、相手が持てるハンドは C(50, 2) = 1,225 通りです。消えた101通りのハンドは、自分のカードのどちらかを含むものです：51 + 51 − 1。自分のハンド自体が両方のリストに含まれるためです。

種類によっては、他よりずっと多く減ります。

• A♠K♥を持っています。 エースが3枚残っているので、相手が持てるエースのコンビネーションは6ではなく C(3, 2) = 3 通りです。キングも同様で、6ではなく3です。エース・キングそのものは16コンボから 3 × 3 = 9 に減り、そのうち2つがスーテッド（A♦K♦とA♣K♣）、7つがオフスートです。
• A♠A♥を持っています。 エースは2枚しか残っていないので、相手が持てるエースのコンビネーションは6ではなく C(2, 2) = 1 通りです。エース・キングは16コンボから 2 × 4 = 8 に減ります。キングは6のまま影響を受けません。

その結果、自分と同じランクを共有するハンドは珍しくなります。エースを持っていると、エースを2枚持つ相手の確率は、新品のデッキの数から想定されるよりずっと低くなり、エース・キングを持つ相手の確率も、相手が持てるエースが少ないため低くなります。自分のハンドが支配されている側である場合にも重要です。例として、 支配されたハンドに関する記事を参照してください。自分のハンドのエースは、相手にとっては1枚少ないということです。

数字の読み方

3種類を同じ扱いにするのはよくある間違いです。エース・キングのオフスートの表の枠と、ポケットキングの表の枠は同じ大きさに見えますが、前者は2倍の配りをカバーします。枠ではなく組み合わせを数えることが、レンジがカバーするハンドの割合を比べる方法です。

1. ペアは6、スーテッドは4、オフスートは12で数える。 その重みでレンジ内の種類を合計し、1,326で割ると、すべての配りに対する割合が得られます。
2. 自分のカードの分を引く。 持っているランクのペアは、1枚持っている場合は3コンボ、2枚持っている場合は1コンボに減ります。
3. 1,326ではなく1,225で割る。 自分の2枚がわかった後で、相手が特定のハンドを持つ確率を知りたい場合です。

たとえば、A♠K♥を持っている場合、相手がエースのペアを持つ確率は 3 ÷ 1,225 = 0.24% で、新品のデッキからの 6 ÷ 1,326 = 0.45% と比べます。

の「ハンドチャート」のレッスンは、 Holdem Coach: Poker Trainer 各座席からどの2枚のハンドをプレイするかを一目で示し、「どのハンドをプレイするか」のレッスンは、誰もベットしていない時点で2枚のカードでレイズする価値があるかを問います。各種類が何回の配りを表すかを知ると、それがどのくらいの頻度で出るかがわかります。