Vom Reservestapel ziehen bei Fives and Threes

Wenn du bei Fives and Threes nicht spielen kannst, kommt der nächste Zug aus dem Reservestapel. Ob das ärgerlich oder eine Katastrophe ist, hängt davon ab, wie viele Steine im Vorrat zu den offenen Enden passen, und das lässt sich aus dem berechnen, was du sehen kannst. Dieser Beitrag zählt zwei Positionen und zeigt, warum passende Enden schwerer zu ziehen sind als unterschiedliche.

Die Regeln variieren, daher prüfe deine

Domino-Tische sind sich nicht einig, was passiert, wenn man keinen Zug hat. Manche ziehen einen Stein und passen, wenn er nicht passt. Manche ziehen, bis ein spielbarer Stein erscheint. Manche ziehen gar nicht und klopfen einfach an. Manche Tische lassen die letzten beiden Steine im Reservestapel. Die App Fives and Threes hat ihre eigene Regel: Wenn du nicht spielen kannst, ziehst du aus dem Reservestapel, bis du kannst, oder passt, wenn er leer ist. Die Rechnung unten gilt für das Ziehen, bis man spielen kann, und ihr Wert für den ersten Zug gilt auch für die Regel mit nur einem Zug.

Was du zählen kannst

Wie in Steine zählen, jede Zahl von 0 bis 6 liegt auf genau sieben der 28 Steine. Zwei verschiedene Enden, etwa 4 und 2, werden von 7 + 7 − 1 = 13 Steinen getragen, weil der Stein 4-2 unter beiden Zahlen gezählt wird. Sind beide Enden dieselbe Zahl, trägt nur 7 Steine sie.

Ziehe ab, was du siehst. Steine in der Reihe sind weg, und ebenso die in deiner Hand. Wenn du nicht spielen kannst, passt keiner deiner Steine zu den Enden, also ist kein spielbarer Stein deiner. Jeder verbleibende spielbare Stein liegt entweder in der Hand deines Gegners oder im Reservestapel, und von deiner Position aus ist der Reservestapel einfach eine Zufallsstichprobe dieser unbekannten Steine.

Daraus ergibt sich eine Formel. Wenn U Steine unbekannt sind und k davon passen würden, ist die Chance, dass dein nächster Zug passt, k ÷ U.

Position eins: Enden 4 und 2

Angenommen, jeder Spieler bekam 7 Steine, der Gegner hat mit der 4-2 eröffnet, und du hältst keinen Stein mit einer 4 oder einer 2. Die Reihe hat 1 Stein, und du hältst 7, also sind 28 − 1 − 7 = 20 Steine unbekannt: 6 in der Hand des Gegners und 14 im Reservestapel. Von den 13 Steinen, die eine 4 oder eine 2 tragen, ist einer die 4-2 in der Reihe, also k = 12.

Der erste Zug passt mit Wahrscheinlichkeit 12 ÷ 20 = 60%. Wenn er verfehlt, bleiben 8 nicht passende Steine unter 19, und der zweite Zug passt mit Wahrscheinlichkeit 12 ÷ 19 (etwa 63%), also ist der zweite Zug der erste Treffer in 40% × 63.2% = 25.3% der Fälle. Über zwei Züge bist du in 60% + 25.3% = 85.3% der Fälle spielbar. Nur 8 Steine passen nicht, daher muss ein Reservestapel von 14 mindestens 6 haben, die passen.

Die erwartete Anzahl der Züge bis zum ersten Treffer ist (U + 1) ÷ (k + 1), ein Standardergebnis für das Ziehen ohne Zurücklegen. Hier ergibt das 21 ÷ 13 = 1.6 Züge.

Position zwei: Enden 4 und 4

Jetzt eröffnet der Gegner mit dem Doppel 4-4, sodass beide Enden 4 sind. Dieselben Hände und derselbe Reservestapel gelten, und du hältst wieder keine 4. Sieben Steine tragen eine 4, und einer davon liegt in der Reihe, also k = 6 bei demselben U = 20.

Der erste Zug passt mit Wahrscheinlichkeit 6 ÷ 20 = 30%. Die erwartete Anzahl der Züge beträgt 21 ÷ 7 = 3.0, etwa doppelt so viele wie zuvor. Das vollständige Muster, berechnet durch Multiplikation der Chance jedes Fehlschlags nacheinander, sieht so aus:

Etwa jedes achte Geben braucht sechs oder mehr Züge. Bei einer Regel mit nur einem Zug würdest du in 70% der Fälle passen.

Es gibt eine kleine Chance, dass der gesamte Reservestapel verfehlt. Dass 14 Reservesteine aus den 14 nicht passenden unter 20 gezogen werden, kann nur auf eine von 38,760 Arten passieren, also etwa 0.003%. Das ist real, deshalb steht das Passen bei leerem Reservestapel in den Regeln, aber es ist zu selten, um darauf zu planen.

Eine spätere Position

Der Vorrat schrumpft, wenn die Reihe wächst, und die Rechnung bleibt gleich. Angenommen, die Reihe hat 9 Steine, du hältst 4, und die Enden sind 3 und 5. Dann sind 28 − 9 − 4 = 15 Steine unbekannt: 6 beim Gegner und 9 im Reservestapel. Dreizehn Steine tragen eine 3 oder eine 5. Liegen 7 davon in der Reihe (und keiner in deiner Hand, da du nicht spielen kannst), dann ist k = 6 und U = 15. Der erste Zug passt mit Wahrscheinlichkeit 6 ÷ 15 = 40%, und die erwartete Anzahl der Züge ist 16 ÷ 7 = 2.3.

Die Lehre ist das Verhältnis. Sobald viele Steine einer Endzahl gespielt sind, ist k klein und die Züge werden länger. Ein Ende, dessen Zahl fast erschöpft ist, ist auch für deinen Gegner schwer zu bespielen, wie bei Blockieren, um einen Punkt zu verhindern.

Was sich dadurch am Tisch ändert

• Passende Enden sind schwerer zu beantworten. Sieben Steine tragen die Zahl, gegenüber 13 bei zwei verschiedenen Enden, und die Chance auf den ersten Zug fällt von 60% auf 30%. Gleiche Enden zu hinterlassen macht die Reihe für beide Spieler schwerer zu beantworten.
• Vor dem Spielen zählen. Wenn du Enden hinterlassen kannst, die für den Gegner teuer zu beantworten sind, etwa Doppel an den Enden in Doppelsteine an einem offenen Ende, dann ist er derjenige, der in den Reservestapel greifen muss.