Cuando no puedes jugar en Fives and Threes, el pozo es de donde sale la siguiente jugada. Que eso sea una molestia o un desastre depende de cuántas fichas del pozo encajarían en los extremos abiertos, y eso puedes calcularlo con lo que ves. Esta entrada cuenta dos posiciones y muestra por qué los extremos iguales son más difíciles de responder robando que los distintos.
Las reglas varían, revisa las tuyas
Las mesas de dominó no se ponen de acuerdo en qué pasa cuando no tienes jugada. Algunas roban una ficha y pasan si no encaja. Otras roban hasta que aparece una jugable. Algunas no roban y simplemente cierran. Algunas mesas dejan las dos últimas fichas en el pozo. La app de Fives and Threes tiene su propia regla: si no puedes jugar, robas del pozo hasta que puedas, o pasas cuando esté vacío. Las cuentas de abajo son para robar hasta poder jugar, y su cifra del primer robo también cubre una regla de un solo robo.
Lo que puedes contar
Como en contar fichas, cada número del 0 al 6 aparece en exactamente siete de las 28 fichas. Dos extremos distintos, por ejemplo 4 y 2, los llevan 7 + 7 − 1 = 13 fichas, porque la 4-2 se cuenta bajo ambos números. Si los dos extremos son el mismo número, solo 7 fichas lo llevan.
Resta lo que ves. Las fichas de la línea ya no están, y tampoco las que tienes en tu mano. Si no puedes jugar, ninguna de tus fichas encaja en los extremos, así que ninguna de las fichas jugables es tuya. Cada ficha jugable restante está en la mano de tu rival o en el pozo, y desde tu posición el pozo es simplemente una muestra aleatoria de esas fichas no vistas.
Eso da una sola fórmula. Si U fichas están sin ver y k de ellas encajarían, la probabilidad de que tu próximo robo encaje es k ÷ U.
Posición uno: extremos 4 y 2
Supongamos que a cada jugador le reparten 7 fichas, el rival abrió con la 4-2, y tú no tienes ninguna con 4 o 2. La línea tiene 1 ficha y tú tienes 7, así que 28 − 1 − 7 = 20 fichas no vistas: 6 en la mano del rival y 14 en el pozo. De las 13 fichas que llevan un 4 o un 2, una es la 4-2 de la línea, así que k = 12.
El primer robo encaja con probabilidad 12 ÷ 20 = 60%. Si falla, quedan 8 fichas que no encajan entre 19, y el segundo robo encaja con probabilidad 12 ÷ 19 (unas 63%), así que el segundo robo es el primer acierto el 40% × 63.2% = 25.3% de las veces. En dos robos eres jugable el 60% + 25.3% = 85.3% de las veces. Solo 8 fichas no encajan, así que un pozo de 14 debe contener al menos 6 que sí encajen.
El número esperado de robos hasta el primer encaje es (U + 1) ÷ (k + 1), un resultado estándar para robar sin reposición. Aquí eso es 21 ÷ 13 = 1.6 robos.
Posición dos: extremos 4 y 4
Ahora el rival abre con el doble 4-4, así que ambos extremos son 4. Las mismas manos y el mismo pozo se aplican, y de nuevo no tienes ningún 4. Siete fichas llevan un 4 y una está en la línea, así que k = 6 de las mismas U = 20.
El primer robo encaja con probabilidad 6 ÷ 20 = 30%. El número esperado de robos es 21 ÷ 7 = 3.0, unas dos veces más que antes. El patrón completo, obtenido multiplicando la probabilidad de cada fallo en turno, va así:
Aproximadamente uno de cada ocho repartos necesita seis o más robos. Con una regla de un solo robo pasarías el 70% de las veces.
Hay una pequeña probabilidad de que todo el pozo falle. Sacar 14 fichas del pozo, de las 14 que no encajan entre 20, puede ocurrir de una sola manera de 38,760 repartos, o aproximadamente 0.003%. Es real, por eso pasar cuando el pozo está vacío está en las reglas, pero es demasiado rara para planificarla.
Una posición posterior
El pozo se reduce a medida que crece la línea, y la matemática es la misma. Supongamos que la línea tiene 9 fichas, tú tienes 4, y los extremos son 3 y 5. Entonces 28 − 9 − 4 = 15 fichas no vistas: 6 con el rival y 9 en el pozo. Trece fichas llevan un 3 o un 5. Si 7 de ellas están en la línea (y ninguna en tu mano, ya que no puedes jugar), entonces k = 6 y U = 15. El primer robo encaja con probabilidad 6 ÷ 15 = 40%, y el número esperado de robos es 16 ÷ 7 = 2.3.
La lección es la proporción. Una vez que se han jugado muchas fichas de un número de extremo, k es pequeño y los robos se alargan. Un extremo cuyo número está casi agotado también es difícil de jugar para tu rival, como en bloquear para impedir una anotación.
Lo que esto cambia en la mesa
- Los extremos iguales son más difíciles de responder. Siete fichas llevan el número frente a 13 de dos extremos distintos, y la probabilidad de encajar en el primer robo baja del 60% al 30%. Dejar extremos iguales hace que la línea sea más difícil de responder para ambos jugadores.
- Cuenta antes de jugar. Si puedes dejar extremos que sean caros de responder para tu rival, como dobles en los extremos en dobles en un extremo libre, será él quien tenga que meter la mano en el pozo.
Fives and Threes Dominoes es un juego para una persona contra un rival de ordenador en modo Casual or Competitive, hasta un objetivo de 61, 121, 181 o 241 puntos, con 6, 7, 8 o 9 fichas cada uno. Si no puedes jugar, robas del pozo hasta que puedas, o pasas cuando esté vacío. No hay anuncios ni compras dentro de la app, y los puntos de partida opcionales son solo del juego y no tienen valor en efectivo.