Comprar do monte em Fives and Threes

Quando você não consegue jogar no Fives and Threes, é do monte que sai a próxima jogada. Se isso é um incômodo ou um desastre depende de quantas pedras restantes encaixariam nas pontas abertas, e você consegue calcular isso a partir do que pode ver. Este artigo conta duas posições e mostra por que pontas iguais são mais difíceis de comprar do que pontas diferentes.

As regras variam, então confira as suas

As mesas de dominó não concordam sobre o que acontece quando você não tem jogada. Algumas compram uma pedra e passam a vez se ela não encaixar. Algumas compram até aparecer uma pedra jogável. Algumas não compram nada e simplesmente batem. Algumas mesas deixam as duas últimas pedras no monte. O app Fives and Threes tem sua própria regra: se você não pode jogar, compra do monte até poder, ou passa quando ele estiver vazio. A matemática abaixo é para comprar até poder jogar, e o número da primeira compra também cobre uma regra de uma compra só.

O que você pode contar

Como em contar peças, todo número de 0 a 6 está em exatamente sete das 28 pedras. Duas pontas diferentes, digamos 4 e 2, são carregadas por 7 + 7 − 1 = 13 pedras, porque a 4-2 é contada nos dois números. Se as duas pontas tiverem o mesmo número, só 7 pedras o carregam.

Subtraia o que você pode ver. As pedras na linha já saíram, e também as que estão na sua mão. Se você não pode jogar, nenhuma das suas pedras encaixa nas pontas, então nenhuma das pedras jogáveis é sua. Cada pedra jogável restante está na mão do adversário ou no monte, e, do seu lado, o monte é simplesmente uma amostra aleatória dessas pedras não vistas.

Isso dá uma única fórmula. Se U pedras estão não vistas e k delas encaixariam, a chance de a sua próxima compra encaixar é k ÷ U.

Posição um: pontas 4 e 2

Suponha que cada jogador tenha recebido 7 pedras, o adversário abriu com a 4-2, e você não tem nenhuma pedra com 4 ou 2. A linha tem 1 pedra e você tem 7, então 28 − 1 − 7 = 20 pedras não vistas: 6 na mão do adversário e 14 no monte. Das 13 pedras com 4 ou 2, uma é a 4-2 na linha, então k = 12.

A primeira compra encaixa com probabilidade 12 ÷ 20 = 60%. Se errar, restam 8 pedras que não encaixam entre 19, e a segunda compra encaixa com probabilidade 12 ÷ 19 (cerca de 63%), então a segunda compra é a primeira que encaixa em 40% × 63.2% = 25.3% das vezes. Em duas compras você consegue jogar em 60% + 25.3% = 85.3% das vezes. Só 8 pedras não encaixam, então um monte de 14 precisa ter pelo menos 6 que encaixam.

O número esperado de compras até a primeira que encaixa é (U + 1) ÷ (k + 1), um resultado padrão para compras sem reposição. Aqui isso dá 21 ÷ 13 = 1.6 compras.

Posição dois: pontas 4 e 4

Agora o adversário abre com o duplo 4-4, então as duas pontas são 4. As mesmas mãos e o mesmo monte valem, e de novo você não tem nenhum 4. Sete pedras carregam um 4 e uma está na linha, então k = 6 sobre o mesmo U = 20.

A primeira compra encaixa com probabilidade 6 ÷ 20 = 30%. O número esperado de compras é 21 ÷ 7 = 3.0, cerca de duas vezes mais que antes. O padrão completo, obtido multiplicando a chance de erro a cada vez, segue assim:

Cerca de uma distribuição em oito precisa de seis ou mais compras. Com uma regra de uma compra, você passaria a vez 70% das vezes.

Há uma pequena chance de o monte inteiro falhar. Tirar 14 pedras do monte, todas entre as 14 que não encaixam dentre 20, pode acontecer de apenas uma forma em 38,760 distribuições, ou cerca de 0.003%. É real, por isso passar a vez com o monte vazio está nas regras, mas é rara demais para planejar em cima.

Uma posição posterior

O conjunto diminui conforme a linha cresce, e a matemática é a mesma. Suponha que a linha tenha 9 pedras, você tenha 4, e as pontas sejam 3 e 5. Então 28 − 9 − 4 = 15 pedras não vistas: 6 com o adversário e 9 no monte. Treze pedras carregam um 3 ou um 5. Se 7 delas estão na linha (e nenhuma na sua mão, já que você não pode jogar), então k = 6 e U = 15. A primeira compra encaixa com probabilidade 6 ÷ 15 = 40%, e o número esperado de compras é 16 ÷ 7 = 2.3.

A lição é a proporção. Quando muitas pedras de um número das pontas já foram jogadas, k é pequeno e as compras ficam mais longas. Uma ponta cujo número está quase esgotado também é difícil para o adversário jogar, como em bloquear para negar pontos.

O que muda na mesa

• Pontas iguais são mais difíceis de responder. Sete pedras carregam o número contra 13 para duas pontas diferentes, e a chance da primeira compra cai de 60% para 30%. Deixar pontas iguais torna a linha mais difícil de responder para os dois jogadores.
• Conte antes de jogar. Se você pode deixar pontas que são caras para o adversário responder, como duplas nas pontas em duplas em uma ponta aberta, é ele quem vai precisar tirar do monte.