Добор из базара в Fives and Threes

Когда вы не можете сыграть в Fives and Threes, следующий ход берётся из базара. Досадно это или катастрофа, зависит от того, сколько костей в базаре подойдут к открытым концам, и это можно вычислить по тому, что видно. В этой записи считаются две позиции и показано, почему совпадающие концы сложнее добрать, чем разные.

Правила различаются, проверьте свои

За столами домино не сходятся в том, что происходит, когда хода нет. Некоторые берут одну кость и пасуют, если она не подходит. Некоторые берут, пока не выпадет играбельная кость. Некоторые вообще не берут и просто стучат. За некоторыми столами последние две кости остаются в базаре. В приложении Fives and Threes своё правило: если нельзя сыграть, вы берёте из базара, пока не сможете, или пасуете, когда он пуст. Расчёты ниже — для добора до тех пор, пока можно сыграть, а цифра для первого добора охватывает и правило одного добора.

Что можно посчитать

Как в подсчёте костей, каждое число от 0 до 6 встречается ровно на семи из 28 костей. Два разных конца, скажем 4 и 2, несут 7 + 7 − 1 = 13 костей, потому что кость 4-2 учитывается под обоими числами. Если оба конца одинаковые, их несут только 7 костей.

Вычтите то, что видно. Кости в линии потеряны, и так же кости в вашей руке. Если вы не можете сыграть, ни одна из ваших костей не подходит к концам, поэтому ни одна играбельная кость не ваша. Каждая оставшаяся играбельная кость либо в руке оппонента, либо в базаре, и с вашего места базар — просто случайная выборка из этих невидимых костей.

Получается одна формула. Если U костей не видно, и k из них подошли бы, шанс, что ваш следующий добор подойдёт, равен k ÷ U.

Позиция первая: концы 4 и 2

Допустим, каждому игроку сдали по 7 костей, оппонент открыл 4-2, и у вас нет ни одной кости с 4 или 2. В линии 1 кость, у вас 7, поэтому 28 − 1 − 7 = 20 костей не видно: 6 у оппонента и 14 в базаре. Из 13 костей с 4 или 2 одна — 4-2 в линии, поэтому k = 12.

Первый добор подходит с вероятностью 12 ÷ 20 = 60%. Если он промахивается, остаются 8 неподходящих костей из 19, и второй добор подходит с вероятностью 12 ÷ 19 (около 63%), поэтому второй добор — первый успех в 40% × 63.2% = 25.3% случаев. За два добора вы можете сыграть в 60% + 25.3% = 85.3% случаев. Только 8 костей не подходят, поэтому в базаре из 14 должно быть не менее 6 подходящих.

Ожидаемое число добиров до первого подходящего равно (U + 1) ÷ (k + 1), стандартный результат для добора без возвращения. Здесь это 21 ÷ 13 = 1.6 добора.

Позиция вторая: концы 4 и 4

Теперь оппонент открывает дубль 4-4, так что оба конца — 4. Те же руки и базар, и опять у вас нет 4. Семь костей несут 4, и одна из них в линии, поэтому k = 6 из того же U = 20.

Первый добор подходит с вероятностью 6 ÷ 20 = 30%. Ожидаемое число добиров равно 21 ÷ 7 = 3.0, примерно вдвое больше, чем раньше. Полная картина, найденная перемножением шанса каждого промаха по очереди, выглядит так:

Примерно в одной раздаче из восьми нужно шесть или больше добиров. При правиле одного добора вы пасовали бы в 70% случаев.

Есть небольшой шанс, что весь базар промахнётся. Взять 14 костей базара из 14 неподходящих среди 20 может случиться лишь одним способом из 38,760 раздач, или примерно в 0.003%. Это реально, поэтому пас при пустом базаре есть в правилах, но это слишком редко, чтобы на это планировать.

Более поздняя позиция

Пул сокращается по мере роста линии, а математика та же. Допустим, в линии 9 костей, у вас 4, а концы — 3 и 5. Тогда 28 − 9 − 4 = 15 костей не видно: 6 у оппонента и 9 в базаре. Тринадцать костей несут 3 или 5. Если 7 из них в линии (и ни одной в вашей руке, поскольку вы не можете сыграть), то k = 6 и U = 15. Первый добор подходит с вероятностью 6 ÷ 15 = 40%, а ожидаемое число добиров равно 16 ÷ 7 = 2.3.

Урок — в соотношении. Когда многие кости с числом конца сыграны, k мало, и добиры становятся длиннее. Конец, число которого почти исчерпано, также трудно сыграть оппоненту, как в блокировке, чтобы не дать очков.

Что это меняет за столом

• Совпадающие концы труднее отбить. Семь костей несут число против 13 для двух разных концов, и шанс первого добора падает с 60% до 30%. Оставление совпадающих концов затрудняет ответ обоим игрокам.
• Считайте до хода. Если вы можете оставить концы, которые дорого стоит оппоненту отбить, как дубли на концах в дублях на открытом конце, он будет тем, кто полезет в базар.