Piocher dans le talon au Fives and Threes

Quand vous ne pouvez pas jouer au Fives and Threes, le talon fournit le coup suivant. Que ce soit un désagrément ou un désastre dépend du nombre de dominos du talon qui s’ajusteraient aux extrémités libres, et vous pouvez le calculer à partir de ce que vous voyez. Cet article compte deux positions et montre pourquoi des extrémités identiques sont plus difficiles à compenser par un tirage que des extrémités différentes.

Les règles varient, vérifiez les vôtres

Les tables de dominos ne s’accordent pas sur ce qui se passe quand on ne peut pas jouer. Certaines piochent un domino et passent si celui-ci ne s’ajuste pas. D’autres piochent jusqu’à ce qu’un domino jouable apparaisse. D’autres ne piochent pas du tout et ferment simplement. Certaines tables laissent les deux derniers dominos dans le talon. L’application Fives and Threes énonce sa propre règle : si vous ne pouvez pas jouer, vous piochez dans le talon jusqu’à pouvoir jouer, ou vous passez quand il est vide. Les calculs ci-dessous concernent la pioche jusqu’à pouvoir jouer, et leur chiffre du premier tirage couvre aussi une règle d’un seul tirage.

Ce que vous pouvez compter

Comme dans compter les dominos, chaque valeur de 0 à 6 figure sur exactement sept des 28 dominos. Deux extrémités différentes, disons 4 et 2, sont portées par 7 + 7 − 1 = 13 dominos, car le 4-2 est compté sous les deux valeurs. Si les deux extrémités sont la même valeur, seuls 7 dominos la portent.

Retranchez ce que vous voyez. Les dominos de la ligne sont sortis, et il en va de même pour ceux de votre main. Si vous ne pouvez pas jouer, aucun de vos dominos ne s’ajuste aux extrémités, donc aucun des dominos jouables n’est le vôtre. Chaque domino jouable restant est soit dans la main de votre adversaire, soit dans le talon, et depuis votre place le talon n’est qu’un échantillon aléatoire de ces dominos non vus.

Cela donne une seule formule. Si U dominos sont non vus et k d’entre eux s’ajusteraient, la probabilité que votre prochain tirage s’ajuste est k ÷ U.

Première position : extrémités 4 et 2

Supposons que chaque joueur ait reçu 7 dominos, que l’adversaire ait ouvert avec le 4-2, et que vous n’ayez aucun domino comportant un 4 ou un 2. La ligne compte 1 domino et vous en avez 7, donc 28 − 1 − 7 = 20 dominos sont non vus : 6 dans la main de l’adversaire et 14 dans le talon. Parmi les 13 dominos portant un 4 ou un 2, un est le 4-2 de la ligne, donc k = 12.

Le premier tirage s’ajuste avec une probabilité de 12 ÷ 20 = 60%. S’il rate, il reste 8 dominos non ajustables parmi 19, et le second tirage s’ajuste avec une probabilité de 12 ÷ 19 (environ 63%), donc le second tirage est le premier succès dans 40% × 63.2% = 25.3% des cas. Sur deux tirages, vous pouvez jouer dans 60% + 25.3% = 85.3% des cas. Seuls 8 dominos ne s’ajustent pas, donc un talon de 14 doit en contenir au moins 6 qui s’ajustent.

Le nombre moyen de tirages avant le premier ajustement est (U + 1) ÷ (k + 1), résultat classique pour un tirage sans remise. Ici cela fait 21 ÷ 13 = 1.6 tirage.

Deuxième position : extrémités 4 et 4

Cette fois, l’adversaire ouvre avec le double 4-4, donc les deux extrémités sont 4. Les mêmes mains et le même talon s’appliquent, et là encore vous n’avez aucun 4. Sept dominos portent un 4 et un est dans la ligne, donc k = 6 sur le même U = 20.

Le premier tirage s’ajuste avec une probabilité de 6 ÷ 20 = 30%. Le nombre moyen de tirages est 21 ÷ 7 = 3.0, soit environ deux fois plus qu’auparavant. La série complète, obtenue en multipliant la probabilité de chaque raté l’un après l’autre, se présente ainsi :

Environ une donne sur huit nécessite six tirages ou plus. Avec une règle d’un seul tirage, vous passeriez 70% du temps.

Il existe une faible chance que tout le talon soit raté. Tirer les 14 dominos du talon parmi les 14 non ajustables sur 20 ne peut arriver que d’une seule façon sur 38,760 donnes, soit environ 0.003%. C’est réel, ce qui explique pourquoi le passage quand le talon est vide figure dans les règles, mais c’est trop rare pour s’y fier.

Une position plus tardive

Le réservoir se réduit à mesure que la ligne grandit, et le calcul reste le même. Supposons que la ligne compte 9 dominos, que vous en ayez 4, et que les extrémités soient 3 et 5. Alors 28 − 9 − 4 = 15 dominos sont non vus : 6 chez l’adversaire et 9 dans le talon. Treize dominos portent un 3 ou un 5. Si 7 d’entre eux sont dans la ligne (et aucun dans votre main, puisque vous ne pouvez pas jouer), alors k = 6 et U = 15. Le premier tirage s’ajuste avec une probabilité de 6 ÷ 15 = 40%, et le nombre moyen de tirages est 16 ÷ 7 = 2.3.

La leçon tient au rapport. Une fois que beaucoup de dominos d’une valeur d’extrémité sont joués, k est petit et les tirages s’allongent. Une extrémité dont la valeur est presque épuisée est aussi difficile à jouer pour votre adversaire, comme dans bloquer pour empêcher un score.

Ce que cela change à la table

• Des extrémités identiques sont plus difficiles à contrer. Sept dominos portent la valeur contre 13 pour deux extrémités différentes, et la probabilité du premier tirage tombe de 60% à 30%. Laisser des extrémités identiques rend la ligne plus difficile à contrer pour les deux joueurs.
• Comptez avant de jouer. Si vous pouvez laisser des extrémités coûteuses pour l’adversaire à contrer, comme des doubles aux extrémités dans les doubles à une extrémité libre, c’est lui qui piochera dans le talon.