Drilling: eine oder zwei Karten tauschen?

Ausgeteilt wird Q-Q-Q-7-3. Die drei Damen sind schon eine starke Hand, daher geht es nur darum, was mit der 7 und der 3 geschehen soll. Man kann beide tauschen oder die 7 als Kicker behalten und nur die 3 tauschen. Keine Wahl kann die Hand verschlechtern, da die Damen bleiben. Der Unterschied liegt darin, wie oft jede Wahl sie verbessert.

Zwei ziehen: 1,081 mögliche Kartenpaare

Du siehst fünf Karten, also 47 sind unbekannt. Zwei neue Karten kommen aus diesen 47, Reihenfolge ignoriert, was 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 gleich wahrscheinliche Ziehungen. Jedes Ergebnis unten ist eine Anzahl dieser Ziehungen, geteilt durch 1,081.

• Vierling. Eine Dame ist unter den 47 noch übrig. Zieht man sie, kann die zweite Karte jede der anderen 46 sein: 46 Ziehungen. 46 ÷ 1,081 = 4.26%.
• Full House. Die beiden neuen Karten müssen ein Paar eines anderen Rangs sein. Zehn Ränge haben alle vier Karten unbekannt, also je 6 Paare: 10 × 6 = 60. Die 7 und die 3, die weggeworfen wurden, haben je drei Karten übrig, also je 3 Paare: 2 × 3 = 6. Summe 60 + 6 = 66 Ziehungen. 66 ÷ 1,081 = 6.11%.
• Immer noch Drilling. Der Rest: 1,081 − 46 − 66 = 969 Ziehungen, oder 89.64%.

Jede Verbesserung sind 112 Ziehungen von 1,081, das ist 10.36%, etwa 1 zu 9.65. Ich habe außerdem alle 1,081 Ziehungen per Computer durchgezählt und dieselbe Aufteilung erhalten: 66 Full Houses, 46 Vierlinge und 969 unverändert.

Eine Karte ziehen: die 7 behalten

Jetzt kommt nur eine Karte, aus denselben 47 unbekannten. Hier muss nichts paarweise gezählt werden, weil eine einzelne Karte entweder hilft oder nicht.

• Vierling. Die verbleibende Dame: 1 von 47, 2.13%.
• Full House. Eine Karte, die zum Kicker passt, ergibt Damen voll mit Siebenern. Drei Siebener sind unbekannt: 3 von 47, 6.38%.
• Immer noch Drilling. Die übrigen 43 Karten: 91.49%.

Jede Verbesserung sind 4 Outs von 47, oder 8.51%, etwa 1 zu 11.75. Dies sind dieselben vier Outs, die für Zwei Paare, eine Karte ziehen, verwendet werden, obwohl sie dort alle ein Full House ergeben.

Beide auf dieselbe Skala bringen

Die beiden Ziehungen haben unterschiedliche Nenner, was den Vergleich verdeckt. Rechnet man die Ein-Karten-Werte in 1,081stel um: 47 × 23 = 1,081, also ist 3 ÷ 47 gleich 69 ÷ 1,081 und 1 ÷ 47 gleich 23 ÷ 1,081.

Das Full House ist fast ein Gleichstand: Die Ein-Karten-Ziehung liegt mit 69 zu 66 Teilen leicht vorn, weil eine einzelne Karte auf einen Rang fast so gut wirkt wie zwei Karten, die ein Paar bilden müssen. Der echte Unterschied liegt beim Vierling. Zwei Karten geben zwei Chancen, die letzte Dame zu finden, daher kommt der Vierling genau doppelt so oft vor (46 ÷ 23). Deshalb verbessert das Ziehen von zwei Karten insgesamt 1.85 Prozentpunkte öfter (10.36% − 8.51%).

Was die zusätzliche Karte kostet

Das Ziehen von zwei Karten gewinnt nicht bei jeder Zählweise, daher hängt es am Preis. Angenommen, jede getauschte Karte kostet c, und ein Full House und ein Vierling gelten als gleich viel Gewinn G gegenüber dem Behalten des Drillings. Das ist großzügig gegenüber der Ein-Karten-Ziehung, da der Vierling mehr wert ist. Das Ziehen von zwei Karten fügt 20 verbessernde Ziehungen von 1,081 hinzu, das sind 1.85%, daher zahlt sich die zweite Karte im Schnitt nur aus, wenn 0.0185 × G mindestens c, das heißt, wenn G etwa das 54-Fache c oder mehr ist. Ist die zweite Karte im Vergleich zur Verbesserung, die sie erkaufen kann, günstig, werden zwei gezogen. Wenn nicht, bleibt der Kicker.

Der Kicker hat eine weitere Funktion, und die steht nicht in den Chancen. Wenn Hände verglichen werden und beide Seiten dieselbe Kategorie halten, die Regeln für den Gleichstand sieht man auf die Ränge, und ein Drilling wird zuerst nach dem Rang der drei entschieden. Zwei Spieler mit Drillingen können in einem Deck nicht dieselben drei Ränge halten, daher zählt der Kicker nur in seltenen Fällen. Ein hoher Kicker ist ein kleiner Bonus, kein Grund, 1.85 Punkte Verbesserung aufzugeben. Dieselbe Überlegung steckt hinter warum ein Kicker selten hilft beim Video Poker, und die Paar-Version der Zählung steht in den Chancen, ein Paar zu verbessern.

Checkliste

1. Unbekannte Karten zählen. Fünf auf der Hand lassen 47 übrig.
2. Eine ziehen: 3 Outs für ein Full House (der Rang des Kickers), 1 Out für einen Vierling.
3. Zwei ziehen: 66 Full-House-Ziehungen und 46 Vierling-Ziehungen, von 1,081.
4. Den Preis vergleichen der zweiten Karte mit dem Gewinn von 1.85 Punkten.

Dies sind einfache Fünf-Karten-Zahlen. Die Store-Beschreibung von Poker vs Dealer sagt, man kann seine Hand halten, einen Einsatz zahlen, um eine Karte zu schmieden, indem man sie gegen eine frische tauscht, oder aussteigen und die Hälfte seiner eingesetzten Chips zurückerhalten. Sie sagt nicht, wie viele Karten man in einer Hand schmieden darf oder was jede kostet. Daher sollte man vor der Anwendung des Preisvergleichs oben die Spielregeln und den Auszahlungsbildschirm im Spiel prüfen.