Длинные масти: почему много одной цифры контролирует линию

В наборе «дубль-шесть» каждое число, от «пусто» до шести, напечатано ровно на 7 из 28 костей. Игроки называют кости с одним числом мастью, а четыре-пять из них в одной руке — длинной мастью. Эта запись считает, как часто вам сдают такую, и что это делает с костями, которые может иметь соперник, при 7-костной руке для каждого игрока. Общий метод расчёта того, что соперник не может держать, описан в подсчёте костей.

Семь костей на одно число

Возьмём тройки. На костях с тройкой есть 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5, 3-6 и дубль 3-3. Это шесть смешанных костей и один дубль, всего семь, и такой же счёт справедлив для каждого числа. Дубль — это одна кость, но у неё два конца с тройкой. Поэтому каждое число всего показывается на 8 концах (шесть одиночных концов плюс два на дубле). См. внутри набора «дубль-шесть» для полного подсчёта.

Два момента, которые нужно держать в голове во всём ниже. Кость с двумя разными числами принадлежит сразу двум мастям, поэтому 3-5 считается и как 3, и как 5. А дубль засчитывается один раз в свою масть, сколько бы точек он ни показывал.

Как часто вам сдают длинную масть

Здесь два разных вопроса, и у них разные ответы. Первый — о конкретном числе, например о пятёрках. Второй — о любом числе.

Для конкретного числа шанс, что ровно k из его 7 костей в 7-костной руке, равен C(7,k) × C(21, 7−k) ÷ C(28,7), где C(28,7) = 1,184,040 раздач. Для четырёх из них это 35 × 1,330 = 46,550 раздач, или 3.9%. Если прибавить пять, шесть и семь костей, конкретное число достигает четырёх и более в 4.3% раздач, а трёх и более — в 22.0%.

Для любого числа шанс намного выше, потому что есть семь чисел, которые могут совпасть. Если пересчитать каждую из 1,184,040 раздач и взять самую длинную масть в каждой, то рука содержит:

• 4 и более костей какого-то числа в 349,356 раздачах, то есть 29.5%.
• 5 и более костей какого-то числа в 31,906 раздачах, то есть 2.7%.
• 3 и более костей какого-то числа в 93.0% раздач, поэтому рука без масти из трёх — редкий случай.

В 7-костной руке 14 концов, которые на семь чисел дают в среднем 2 на число. Поэтому масть из 3 — обычное дело, масть из 4 встречается примерно в трёх руках из десяти, а масть из 5 — необычна.

Что это делает с соперником

Допустим, у вас на руке k костей одного числа. Остальные 7 − k костей этого числа находятся среди 21 кости, которую вы не видите: 7 у соперника и 14 в базаре. Ожидаемая доля соперника равна 7 × (7 − k) ÷ 21 кость, и она падает на треть кости за каждую, что у вас на руке. При k = 0 это 2.33 кости, при k = 4 это 1.00, а при k = 6 это 0.33.

Важнее шанс не иметь ни одной. Если открытый конец показывает это число, а у соперника нет ни одной кости этой масти, он не может сыграть там. Ему придётся сыграть за другой конец, или добирать из базара, пока не сможет, или пасовать, когда базар пуст. Шанс, что 7 костей соперника не содержат ни одной из оставшихся 7 − k равен C(21 − (7−k), 7) ÷ C(21,7):

При 4 костях шанс лучше одного из четырёх, а при 6 — два из трёх: недостающая кость находится у соперника 7 раз из 21, то есть 14 ÷ 21. Цифры предполагают, что вы знаете только свою руку. Кости на линии или уже сыгранные меняют их тем же методом.

Чего не делает длинная масть

Если у вас много костей одного числа, это не позволяет удержать конец на этом числе. Когда вы кладёте кость на конец 3, новым концом становится другая половина кости. Сыграйте 3-0, и конец станет 0. Единственная кость, которая оставляет число неизменным, — дубль: 3-3 на конце 3 оставляет показанную 3, и он засчитывает обе свои точки в сумму, как рассказано в дублях на открытом конце.

Поэтому выгода в возможностях, а не в праве владения. С четырьмя тройками на руке тройка на любом конце — это конец, на который вы можете сыграть, как бы она ни выпала. Остальные три тройки — единственные кости, которыми кто-либо ещё может там воспользоваться. Это реальное преимущество, но скромное: соперник заперт в 27.4% случаев при четырёх костях, а не всегда.

Есть и цена. Кости одной масти имеют общее число, но их вторые половины все разные: 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5 и 3-6 дают шесть разных чисел. Поэтому длинная масть даёт много способов оставить нужную сумму, что помогает при целении в 15 или при уходе от большого ответа, как в блокировании. But four tiles of one number leave only three for everything else, and the hand can run short of plays when the ends move away from that number.

Как применять за столом

• Считайте свои масти при сдаче. Подсчитайте концы по числам по всей руке. Любое число на 4 и более костях — ваша длинная масть.
• Вычтите из семи. Если у вас 4 кости числа, остаются 3. Если на линии ещё 2, останется одна.
• По возможности держите число вашей длинной масти в игре. Это число на конце — ход для вас и часто не для соперника. Это экономит ход, но само по себе не даёт очков.
• Следите за добором. Если соперник добирает, значит, у него не было кости ни для одного конца, поэтому у него нет ни одного числа с обоих концов.

Все цифры здесь — для 7 костей у каждого. Другие размеры руки меняют их, но те же формулы применимы.