Beginn mit 6, 7, 8 oder 9 Steinen: was die Handgröße verändert

Fives and Threes Dominoes lässt dich mit 6, 7, 8 oder 9 Steinen pro Spieler beginnen. Der Satz hat feste 28 Steine, daher ist die Wahl ein Tausch: Steine in deiner Hand sind Steine, die nicht im Boneyard liegen. Dieser Beitrag beziffert diesen Tausch für ein Zwei-Spieler-Spiel, nur mit Rechnungen, die du selbst nachvollziehen kannst.

Was übrig bleibt

Zwei Spieler erhalten jeweils n Steine, und was übrig bleibt, ist das Boneyard: 28 − 2n. The table below also shows how much of the set is already in hands, and how many tiles are unseen from your side. Unseen means everything except your own hand, so it is the opponent's tiles plus the boneyard: 28 − n.

• 6 Steine je Spieler: 12 in den Händen, Boneyard mit 16, 22 nicht gesehen (die 6 des Gegners und die 16 im Boneyard).
• 7 Steine je Spieler: 14 in den Händen, Boneyard mit 14, 21 nicht gesehen.
• 8 Steine je Spieler: 16 in den Händen, Boneyard mit 12, 20 nicht gesehen.
• 9 Steine je Spieler: 18 in den Händen, Boneyard mit 10, 19 nicht gesehen.

Bei 7 je Spieler ist genau die Hälfte des Satzes ausgeteilt. Jeder Schritt bei der Handgröße nimmt zwei weitere Steine aus dem Boneyard, einen von jeder Tischseite. Bei 9 je Spieler sind 18 der 28 Steine, etwa 64%, in den Händen, bevor jemand gespielt hat.

Das Boneyard hört auf, ein Sicherheitsnetz zu sein

Wenn du nicht spielen kannst, lässt dich die App so lange aus dem Boneyard ziehen, bis du spielen kannst, oder du passt, wenn es leer ist. Ein großes Boneyard ist ein tiefer Brunnen zum Ziehen. Ein kleines geht früher aus, und ein Passen kostet dich dann den Zug.

Der Anteil der nicht gesehenen Steine, die im Boneyard liegen, ist (28 − 2n) ÷ (28 − n):

• × 6 je Spieler: 16 ÷ 22 = 72.7%
• × 7 je Spieler: 14 ÷ 21 = 66.7%
• × 8 je Spieler: 12 ÷ 20 = 60.0%
• × 9 je Spieler: 10 ÷ 19 = 52.6%

Von deinem Platz aus ist jeder nicht gesehene Stein gleich wahrscheinlich an einem der beiden Orte. Bei 6 je Spieler liegt ein Stein, den du nicht siehst, etwa 73% der Zeit im Boneyard. Bei 9 je Spieler ist es kaum besser als ein Münzwurf. Das ist wichtig für die Zählung in Steine zählen: Eine größere Hand macht die Hand des Gegners zu einem größeren Teil dessen, was du nicht siehst, daher deckt das, was du aus seinen Ziehungen und Passen erfährst, mehr der Steine im Spiel ab.

Festsitzen wird seltener

Jede Zahl von 0 bis 6 steht auf genau sieben Steinen, wie im Beitrag über den Doppelsechs-Satz zeigt. Eine Hand hat nur dann keinen Stein für eine bestimmte Zahl, wenn alle n ihre Steine aus den übrigen 21 stammen. Die Chance dafür ist die Anzahl der Möglichkeiten, n Steine aus 21 zu wählen, geteilt durch die Anzahl der Möglichkeiten, n Steine aus 28 zu wählen:

• 6 Steine: 54,264 ÷ 376,740 = 14.4%
• 7 Steine: 116,280 ÷ 1,184,040 = 9.8%
• 8 Steine: 203,490 ÷ 3,108,105 = 6.5%
• 9 Steine: 293,930 ÷ 6,906,900 = 4.3%

Lies dies als die Chance, dass du aus deinem Startblatt kein offenes Ende mit dieser Zahl bedienen kannst, bevor ein Stein gespielt ist. Bei zwei verschiedenen Enden, sagen wir 4 und 2, passen dreizehn Steine, sodass nur 15 Steine beide verfehlen. Die Chance auf eine Hand ohne einen der 13 beträgt 5,005 ÷ 376,740 = 1.3% bei 6 Steinen und 5,005 ÷ 6,906,900 = 0.07% bei 9. Einen Zug am Anfang zu haben ist bei jeder Größe nahezu sicher. Der Unterschied zeigt sich spät, wenn die Linie die passenden Steine genommen hat.

Dieselbe Rechnung 7 aus 28 gilt für jede Gruppe von sieben Steinen. Die sieben Doppelsteine bilden eine solche Gruppe, daher ist die Chance, überhaupt keinen Doppelstein zu halten, ebenfalls 14.4%, 9.8%, 6.5% und 4.3%. Andersherum gesagt: 85.6%, 90.2%, 93.5% und 95.7% der Hände halten mindestens einen. Doppelsteine lohnt es sich im Blick zu behalten wegen wie sie an einem offenen Ende punkten.

Mehr Augen zu tragen

Der Satz trägt 168 Augen auf 28 Steinen, im Schnitt 6 pro Stein. Eine Hand aus n Steinen ergibt daher im Schnitt 6n Augen: 36, 42, 48 und 54. Das sind Durchschnittswerte, keine Versprechen, denn eine tatsächliche Hand kann weit darüber oder darunter liegen. Ein Doppelstein an einem offenen Ende zählt beide seiner Augen, sodass allein der 6-6 zu einer Endsumme 12 beiträgt, und eine größere Hand hat mehr Chancen, schwere Steine wie ihn zu halten.

Längere Hände, längere Spiele

Um abzulegen, musst du jeden Stein spielen, daher ist die geringste Zahl möglicher Züge n: 6, 7, 8 oder 9. Das ist eine Untergrenze, keine typische Länge, weil ein Ziehen einen Stein hinzufügt, den du dann ebenfalls spielen musst. Die Chancen, beim Ziehen einen passenden Stein zu finden, verschieben sich mit wachsender Linie, wie beim Ziehen aus dem Boneyard zeigt.

Eine Größe wählen

• 6 Steine: das größte Boneyard (16) und die größte Chance auf eine Hand mit einer fehlenden Zahl (14.4%).
• 7 Steine: der Ausgleichspunkt, mit der Hälfte des Satzes ausgeteilt und einem Boneyard von 14 Steinen.
• 8 oder 9 Steine: mehr Auswahl pro Zug, ein Boneyard von 12 bzw. 10 und eine Hand, der selten eine Zahl fehlt (6.5% und 4.3%). Du trägst mehr Augen, und bei 9 sind die 9 Steine des Gegners 9 der 19, die du nicht siehst.

Was du auch wählst, die obigen Rechnungen sind dieselben, die du im Verlauf des Spiels wiederholen kannst: gesehene Steine, nicht gesehene Steine und wie viele der nicht gesehenen zu den Enden passen würden.