Longues séries : pourquoi beaucoup d'un même chiffre contrôle la ligne

Dans un jeu double-six, chaque nombre, du blanc au six, est imprimé sur exactement 7 des 28 pierres. Les joueurs appellent série les pierres portant un même nombre, et quatre ou cinq d'entre elles dans une main une longue série. Cet article compte la fréquence à laquelle on reçoit une série, et ce qu'elle fait aux pierres que l'adversaire peut avoir, en utilisant une main de 7 pierres pour chaque joueur. La méthode générale pour calculer ce que l'adversaire ne peut pas détenir figure dans compter les dominos.

Sept pierres pour un nombre

Prenez les 3. Les pierres portant un 3 sont 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5, 3-6 et le double 3-3. Cela fait six pierres mixtes et un double, soit sept au total, et le même décompte vaut pour chaque nombre. Le double est une seule pierre, mais il porte deux extrémités à 3. Chaque nombre apparaît donc sur 8 extrémités au total (six extrémités simples plus deux sur le double). Voir à l'intérieur d'un jeu double-six pour le décompte complet.

Deux points à garder en tête dans tout ce qui suit. Une pierre avec deux nombres différents appartient à deux séries à la fois, donc le 3-5 compte comme un 3 et comme un 5. Et le double ne compte qu'une fois pour sa série, quel que soit le nombre de points qu'il montre.

Fréquence à laquelle vous recevez une longue série

Il y a deux questions différentes ici, qui ont des réponses différentes. La première porte sur un nombre précis, disons les 5. La seconde porte sur n'importe quel nombre.

Pour un nombre précis, la chance d'en avoir exactement k de ses 7 pierres dans une main de 7 pierres est C(7,k) × C(21, 7−k) ÷ C(28,7), où C(28,7) = 1,184,040 mains. Pour quatre d'entre elles, cela fait 35 × 1,330 = 46,550 mains, soit 3.9%. En ajoutant cinq, six et sept pierres, un nombre précis atteint quatre ou plus dans 4.3% des mains, et trois ou plus dans 22.0%.

Pour n'importe quel nombre, la chance est bien plus élevée, car il y a sept nombres à toucher. En comptant chacune des 1,184,040 mains et en prenant la plus grande série de chacune, une main contient :

• 4 ou plus d'un nombre quelconque dans 349,356 mains, soit 29.5%.
• 5 ou plus d'un nombre quelconque dans 31,906 mains, soit 2.7%.
• 3 ou plus d'un nombre quelconque dans 93.0%, donc une main sans série de trois est le cas rare.

Une main de sept pierres a 14 extrémités, qui réparties sur sept nombres font 2 par nombre en moyenne. Une série de 3 est donc ordinaire, une série de 4 apparaît dans environ trois mains sur dix, et une série de 5 est inhabituelle.

Ce que cela fait à l'adversaire

Supposez que vous détenez k pierres d'un nombre. Les 7 − k pierres de ce nombre se trouvent parmi les 21 pierres que vous ne voyez pas : les 7 de l'adversaire et les 14 de la pioche. La part attendue de l'adversaire est 7 × (7 − k) ÷ 21 pierres, qui baisse d'un tiers de pierre pour chacune que vous détenez. Avec k = 0, cela fait 2.33 pierres, avec k = 4, cela fait 1.00, et avec k = 6, cela fait 0.33.

Ce qui compte davantage est la chance de n'en avoir aucune. Si l'extrémité ouverte affiche ce nombre et que l'adversaire ne détient aucune pierre de la série, il ne peut pas jouer là. Il doit utiliser l'autre extrémité, ou piocher jusqu'à pouvoir jouer, ou passer quand la pioche est vide. La chance que les 7 pierres de l'adversaire ne contiennent aucune des 7 − k est C(21 − (7−k), 7) ÷ C(21,7) :

À 4 pierres, c'est plus d'une sur quatre, et à 6, c'est deux sur trois : la pierre manquante est dans la main de l'adversaire 7 fois sur 21, soit 14 ÷ 21. Les chiffres supposent que vous ne connaissez que votre propre main. Les pierres posées sur la ligne ou déjà jouées les modifient selon la même méthode.

Ce qu'une longue série ne fait pas

Détenir beaucoup d'un même nombre ne vous permet pas de garder une extrémité sur ce nombre. Lorsque vous jouez une pierre sur une extrémité de 3, la nouvelle extrémité est l'autre moitié de la pierre. Jouez le 3-0 et l'extrémité devient 0. La seule pierre qui laisse le nombre inchangé est le double : le 3-3 sur une extrémité de 3 laisse un 3 visible, et il compte ses deux points dans le total, comme indiqué dans les doubles à une extrémité libre.

L'avantage porte donc sur les options, pas sur la propriété. Avec quatre 3 en main, un 3 qui apparaît à l'une ou l'autre extrémité est une extrémité sur laquelle vous pouvez jouer, quelle que soit la façon dont il apparaît. Les trois autres 3 sont les seules pierres que quiconque d'autre peut utiliser là. C'est un avantage réel mais modeste : l'adversaire est bloqué 27.4% du temps avec quatre pierres, pas à chaque fois.

Il y a aussi un coût. Les pierres d'une même série partagent un nombre, mais leurs autres moitiés sont toutes différentes : 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5 et 3-6 atteignent six nombres distincts. Une longue série vous donne donc de nombreuses façons de laisser un total choisi, ce qui aide lorsque l'on vise 15 ou que l'on évite une grosse réplique, comme dans le blocage. But four tiles of one number leave only three for everything else, and the hand can run short of plays when the ends move away from that number.

L'utiliser à table

• Comptez vos séries à la distribution. Relevez les extrémités par nombre dans votre main. Tout nombre sur 4 pierres ou plus est votre longue série.
• Retranchez de sept. Détenir 4 d'un nombre en laisse 3. Si 2 autres sont sur la ligne, il en reste une.
• Gardez le nombre de votre longue série en jeu lorsque vous le pouvez. Ce nombre à une extrémité est un coup pour vous et souvent pas pour l'adversaire. Il vous fait gagner un tour, mais ce n'est pas un point en soi.
• Surveillez les pioches. Si l'adversaire pioche, c'est qu'il n'avait de pierre pour aucune des deux extrémités, donc il ne détient aucune pierre du nombre de l'une ou l'autre extrémité.

Tous les chiffres ici valent pour des mains de 7 pierres chacune. D'autres tailles de main les modifient, et les mêmes formules s'appliquent.