Palos largos: por qué muchas fichas de un número mandan

En un juego doble seis, cada número, de blanco a seis, aparece impreso en exactamente 7 de las 28 fichas. Los jugadores llaman palo a las fichas que llevan un mismo número, y palo largo a cuatro o cinco de ellas en una mano. Esta entrada cuenta con qué frecuencia te reparten uno, y qué hace con las fichas que puede tener el rival, usando una mano de 7 fichas para cada jugador. El método general para averiguar lo que el rival no puede tener está en contar fichas.

Siete fichas por número

Toma los 3. Las fichas con un 3 son 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5, 3-6 y el doble 3-3. Son seis fichas mixtas y un doble, siete en total, y el mismo recuento vale para cada número. El doble es una ficha, pero tiene dos extremos de 3. Así que cada número aparece en 8 extremos en total (seis extremos simples más dos del doble). Véase dentro de un juego doble seis para el recuento completo.

Dos puntos que hay que tener claros en todo lo que sigue. Una ficha con dos números distintos pertenece a dos palos a la vez, así que el 3-5 cuenta como un 3 y como un 5. Y el doble cuenta una vez hacia su palo, sin importar cuántos puntos muestre.

Con qué frecuencia te reparten un palo largo

Aquí hay dos preguntas distintas, con respuestas distintas. La primera trata de un número concreto, digamos los 5. La segunda trata de cualquier número.

Para un número concreto, la probabilidad de exactamente k de sus 7 fichas en una mano de 7 fichas es C(7,k) × C(21, 7 −k) ÷ C(28,7), donde C(28,7) = 1,184,040 manos. Para cuatro de ellas es 35 × 1,330 = 46,550 manos, o 3.9%. Sumando cinco, seis y siete fichas, un número concreto llega a cuatro o más en 4.3% de las manos, y a tres o más en 22.0%.

Para cualquier número, la probabilidad es mucho mayor, porque hay siete números en los que acertar. Contando cada una de las 1,184,040 manos y tomando el palo más grande de cada una, una mano tiene:

• 4 o más de algún número en 349,356 manos, que es 29.5%.
• 5 o más de algún número en 31,906 manos, que es 2.7%.
• 3 o más de algún número en 93.0%, así que una mano sin ningún palo de tres es el caso raro.

Una mano de siete fichas tiene 14 extremos, que repartidos entre siete números dan 2 por número de media. Así que un palo de 3 es normal, un palo de 4 aparece en unas tres de cada diez manos, y un palo de 5 es inusual.

Qué hace con el rival

Supón que tienes k fichas de un número. Las otras 7 − k fichas de ese número están entre las 21 fichas que no puedes ver: las 7 del rival y las 14 del pozo. La parte esperada del rival es 7 × (7 − k) ÷ 21 fichas, que baja un tercio de ficha por cada una que tienes. Con k = 0 son 2.33 fichas, con k = 4 es 1.00, y con k = 6 es 0.33.

Lo que importa más es la probabilidad de no tener ninguna. Si el extremo abierto muestra ese número y el rival no tiene ninguna del palo, no puede jugar ahí. Tiene que usar el otro extremo, o robar del pozo hasta poder, o pasar si está vacío. La probabilidad de que las 7 fichas del rival no tengan ninguna de las 7 − k restantes es C(21 − (7 −k), 7) ÷ C(21,7):

Con 4 fichas es mejor que una de cada cuatro, y con 6 son dos de cada tres: la ficha que falta está en la mano del rival 7 veces de cada 21, así que 14 ÷ 21. Las cifras suponen que solo conoces tu propia mano. Las fichas en la línea o ya jugadas las cambian por el mismo método.

Lo que no hace un palo largo

Tener muchas de un número no te permite mantener un extremo en ese número. Cuando juegas una ficha sobre un extremo de 3, el nuevo extremo es la otra mitad de la ficha. Juega el 3-0 y el extremo pasa a ser 0. La única ficha que deja el número igual es el doble: el 3-3 sobre un extremo de 3 deja un 3 a la vista, y cuenta sus dos puntos hacia el total, como se explica en dobles en un extremo libre.

Así que el beneficio es de opciones, no de propiedad. Con cuatro 3 en la mano, un 3 que aparezca en cualquiera de los dos extremos es un extremo en el que puedes jugar, por donde sea que salga. Los otros tres 3 son las únicas fichas que cualquier otro puede usar ahí. Es una ventaja real pero modesta: el rival queda cerrado el 27.4% de las veces con cuatro fichas, no siempre.

También hay un coste. Las fichas de un palo comparten un número, pero sus otras mitades son todas distintas: 3-0, 3-1, 3-2, 3-4, 3-5 y 3-6 llegan a seis números separados. Un palo largo te da, por tanto, muchas maneras de dejar un total elegido, lo que ayuda al apuntar a 15 o a alejarse de una gran respuesta, como en bloquear. But four tiles of one number leave only three for everything else, and the hand can run short of plays when the ends move away from that number.

Usarlo en la mesa

• Cuenta tus palos al repartir. Suma los extremos por número en toda tu mano. Cualquier número en 4 o más fichas es tu palo largo.
• Resta de siete. Tener 4 de un número deja 3. Si 2 más están en la línea, queda una.
• Mantén en juego el número de tu palo largo cuando puedas. Ese número en un extremo es una jugada para ti y a menudo no para el rival. Te ahorra un turno, pero no es una puntuación en sí misma.
• Fíjate en los robos. Si el rival roba, no tenía ficha para ninguno de los dos extremos, así que no tiene ninguna del número de ninguno de ellos.

Todas las cifras aquí son para 7 fichas cada uno. Otros tamaños de mano las cambian, y se aplican las mismas fórmulas.