« Une paire face à deux cartes plus hautes est un pile ou face » est l'une des premières choses qu'un joueur de Hold'em entend sur le all-in avant le flop, et c'est un résumé fidèle de la moyenne. Il masque un écart d'environ onze points, entre une main nettement favorite et une main outsider. Le côté où vous vous trouvez dépend de trois choses : la taille de la paire, la couleur commune ou non des cartes plus hautes, et leur proximité.
Comment les chiffres ont été obtenus
Chaque chiffre ci-dessous provient de la distribution de tous les 1,712,304 plateaux de cinq cartes possibles (soit 48 cartes parmi 5, les quatre cartes cachées retirées) et de la comparaison de la meilleure main de cinq cartes que chaque camp forme avec ses sept cartes. Aucun échantillonnage n'intervient, donc il n'y a pas de marge d'erreur. La victoire et la défaite sont les parts de plateaux que chaque camp remporte seul, l'égalité est un pot partagé, et l'équité correspond à la part de victoires plus la moitié de la part d'égalités.
Les couleurs comptent un peu, donc pour mémoire : la paire est toujours en piques et cœurs, les cartes plus hautes non assorties sont l'as de carreau et le roi de trèfle, et celles qui sont assorties sont toutes deux des carreaux. Donner aux cartes plus hautes les couleurs de la paire modifie le résultat de moins d'un point dans les cas que j'ai vérifiés ; par exemple 22 contre as de cœur et roi de pique fait 52.3% au lieu de 53.0%, et 77 contre les mêmes cartes fait 54.6% au lieu de 55.4%.
| Confrontation | Victoires de la paire | Égalité | Défaites de la paire | Équité de la paire |
|---|---|---|---|---|
| 22 v AKo | 52.75% | 0.58% | 46.67% | 53.04% |
| 77 v AKo | 55.25% | 0.28% | 44.47% | 55.39% |
| QQ v AKo | 56.99% | 0.34% | 42.66% | 57.16% |
| 22 v AKs | 49.60% | 0.63% | 49.77% | 49.92% |
| 77 v AKs | 51.95% | 0.34% | 47.71% | 52.12% |
| QQ v AKs | 53.59% | 0.39% | 46.02% | 53.79% |
| 22 v JTs | 45.32% | 1.41% | 53.28% | 46.02% |
| 77 v JTs | 48.94% | 0.48% | 50.58% | 49.18% |
Ce qui fait bouger le chiffre
Les cartes plus hautes assorties coûtent à la paire environ trois points. Passer de AKo à AKs fait tomber 22 de 53.04% à 49.92% (3.12 points), 77 de 55.39% à 52.12% (3.27) et QQ de 57.16% à 53.79% (3.37). La couleur ajoute des chances de couleur à tout ce que les deux cartes pouvaient déjà faire.
La moitié des plateaux forment une paire avec les cartes plus hautes. Contre une paire de sept, six cartes (trois as, trois rois) aident as-roi, et l'une d'elles au moins tombe sur le tapis dans 1 − C(42,5) ÷ C(48,5) = 50.3% des fins de plateau. La paire a sa propre voie : un brelan arrive sur 1 − C(46,5) ÷ C(48,5) = 19.9% des plateaux, soit environ un sur cinq.
Des cartes plus hautes qui se suivent ne sont pas plus faibles que les grosses. Contre deux, valet-dix assorti prend 53.98% de l'équité (100 moins 46.02), davantage que as-roi assorti (50.08%). Des cartes plus petites, mais qui ajoutent des chances de quinte, et aucune des deux cartes n'est dominée par la paire. Contre 77, la paire est presque à égalité avec 49.18%.
La taille de la paire le fait évoluer par paliers
Refaites le même balayage contre as-roi non assorti, et l'équité de la paire ne monte pas régulièrement :
- 22: 53.04%, 33: 53.77%, 44: 54.43%
- 55: 55.01%, 66: 55.39%, 77: 55.39%
- 88: 55.57%, 99: 55.68%
- TT : 57.28%, JJ : 57.25%, QQ : 57.16%
Passer des deux aux neufs ajoute 2.6 points. Des neufs aux dix, 1.6 de plus, et au-delà des dix on ne gagne rien : les dames sont très légèrement en dessous des dix. Sur toute la fourchette, de 22 à QQ, la paire gagne 4.1 points, un peu plus que les trois points que les cartes plus hautes gagnent en étant assorties.
Transformer l'équité en décision
Stacks égaux, face à face, tapis : vous payez 100 pour gagner un pot de 200, il vous faut donc 50%, le seuil d'équilibre donné dans l'article sur les cotes du pot. Deuces against ace-king suited sit at 49.92%, which is level to within a rounding error. Deuces against jack-ten suited at 46.02% fall short. Over many repetitions the average result is 0.4602 × 200 − 100 = −8.0 per 100 put in. Queens against ace-king offsuit at 57.16% average +14.3 per 100.
Ce calcul suppose qu'il n'y a plus de mises et que personne ne se couche, ce qui est précisément le cas du tapis. Une fois le flop tombé, la situation change : une paire est derrière dès qu'un as ou un roi sort, et le décompte des outs de l'article précédent donne votre chance à partir de là.
« Pile ou face » est une bonne étiquette pour deux contre as-roi assorti, et une mauvaise pour tout le reste ici. Les cartes plus hautes non assorties donnent à la paire environ trois points, une paire plus grosse ajoute jusqu'à quatre points de plus, et des cartes qui se suivent comme valet-dix assorti peuvent faire d'une petite paire un outsider.
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