6、7、8、9枚から始める場合：手札の枚数が変えるもの

Fives and Threes Dominoesでは、プレイヤーごとに6、7、8、9枚の牌から始めることができます。セットは28枚に固定されているので、選択はトレードオフです。手の中の牌は、ボーンヤードにない牌です。この記事では、2人のゲームについて、各自で繰り返せる計算だけを使って、そのトレードオフに数字を当てはめます。

残りのもの

2人のプレイヤーにそれぞれ配られるのは n 枚ずつ。残りがボーンヤードで、28 − 2n. The table below also shows how much of the set is already in hands, and how many tiles are unseen from your side. Unseen means everything except your own hand, so it is the opponent's tiles plus the boneyard: 28 − n.

• × 6枚ずつ： 手札に12枚、ボーンヤードは16枚、未確認は22枚（相手の6枚とボーンヤードの16枚）。
• 各7枚ずつ： 手札に14枚、ボーンヤードは14枚、未確認は21枚。
• 各8枚ずつ： 手札に16枚、ボーンヤードは12枚、未確認は20枚。
• 各9枚ずつ： 手札に18枚、ボーンヤードは10枚、未確認は19枚。

各7枚のとき、セットの正確に半分が配られます。手札のサイズが1つ増えるたびに、テーブルの各プレイヤー側から1枚ずつ、ボーンヤードから2枚ずつ減ります。各9枚のとき、誰もプレイする前に28枚中18枚、約64%が手札にあります。

ボーンヤードは安全網ではなくなる

プレイできない場合、アプリはプレイできるようになるまでボーンヤードから引かせ、空の場合はパスさせます。大きなボーンヤードは、引くための深い井戸です。小さなボーンヤードは早く尽きるため、そのときパスすると手番を失います。

未確認の牌のうちボーンヤードにあるものの割合は (28 − 2n) ÷ (28 − n):

• ×6枚ずつ：16 ÷ 22 = 72.7%
• 各7枚：14 ÷ 21 = 66.7%
• 各8枚：12 ÷ 20 = 60.0%
• 各9枚：10 ÷ 19 = 52.6%

自分の席から見ると、未確認のどの牌もどちらの場所にある確率も同じです。各6枚のとき、見えない牌がボーンヤードにある確率は約73%です。各9枚のときは、コイン投げとほとんど変わりません。これは タイルを数えるの数え方にとって重要です。手札が大きいほど相手の手札が見えない部分の大きな割合を占めるため、相手のドローやパスからわかることが、プレイ中の牌のより多くをカバーします。

行き詰まることが珍しくなる

0から6までのすべての数字は、 ダブルシックスのセットの記事 で示すように、ちょうど7枚の牌に現れます。ある数字の牌が手札に1枚もないのは、その手札のすべての牌が残りの21枚から来た場合に限られます。その確率は、21枚から n 枚を選ぶ方法の数を、 n 枚を選ぶ28枚からの方法の数で割ったものです。 n から：

• 6枚：54,264 ÷ 376,740 = 14.4%
• 7枚：116,280 ÷ 1,184,040 = 9.8%
• 8枚：203,490 ÷ 3,108,105 = 6.5%
• 9枚：293,930 ÷ 6,906,900 = 4.3%

これは、どの牌もプレイされる前に、スターティングハンドからその数字を示す開いた端に接続できない確率として読んでください。4と2のように2つの異なる端に対しては、13枚の牌が合うので、15枚だけが両方に合いません。13枚のどれも含まないハンドの確率は、6枚のとき 5,005 ÷ 376,740 = 1.3%、9枚のとき 5,005 ÷ 6,906,900 = 0.07% です。開始時にプレイできることは、どのサイズでもほぼ確実です。違いが出るのは後半で、ラインが合う牌を使い切ったときです。

同じ28枚中7枚の計算は、どの7枚のグループにも当てはまります。7枚のダブルはそのようなグループなので、ダブルを1枚も持たない確率も14.4%、9.8%、6.5%、4.3%です。逆に言えば、ハンドの85.6%、90.2%、93.5%、95.7%は少なくとも1枚を持っています。ダブルは 開いた端でどのように得点するか.

持ち運ぶ点数が増える

セットは28枚に168の点を持ち、牌1枚あたり平均6です。 n の牌のハンドは、したがって平均6n 点を持ちます。点数は36、42、48、54です。これらは平均であり、保証ではありません。実際のハンドはそれより大きくも小さくもなり得るからです。開いた端のダブルはその両方の点を数えるため、6-6だけで端の合計に12の価値があり、大きなハンドはそのような重い牌を持つ機会も増えます。

長いハンド、長いゲーム

上がるには、すべての牌をプレイしなければならないので、最も少ない手番数は n：6、7、8、9です。これは典型的な長さではなく下限です。ドローで、プレイしなければならない牌が1枚加わるからです。ドローしながら合うものを見つける確率は、ラインが伸びるにつれて変わり、 ボーンヤードからのドロー に示されています。

サイズを選ぶ

• 6枚： 最大のボーンヤード（16）と、数字が欠けたハンドになる確率が最も高い（14.4%）。
• 7枚： 釣り合いの点で、セットの半分が配られ、ボーンヤードは14枚です。
• 8または9枚： 毎ターンより多くの選択肢があり、ボーンヤードは12または10枚で、数字が欠けるハンドはまれです（6.5%と4.3%）。より多くの点を持ち運び、9枚のときは相手の9枚が、見えない19枚のうち9枚になります。

どのサイズを選んでも、上の計算は、ゲームが進むにつれて再実行すべき同じ計算です：見えた牌、見えていない牌、そして見えていない牌のうちいくつが両端に合うか。