Começando com 6, 7, 8 ou 9 peças: o que muda com o tamanho da mão

Fives and Threes Dominoes permite começar com 6, 7, 8 ou 9 peças por jogador. O conjunto tem 28 peças fixas, então a escolha é uma troca: peças na sua mão são peças que não estão no monte de reserva. Esta publicação põe números nessa troca para um jogo de dois jogadores, usando apenas aritmética que você mesmo pode repetir.

O que sobra

Dois jogadores recebem n peças cada, e o que resta é o monte de reserva: 28 − 2n. The table below also shows how much of the set is already in hands, and how many tiles are unseen from your side. Unseen means everything except your own hand, so it is the opponent's tiles plus the boneyard: 28 − n.

• 6 peças cada: 12 nas mãos, monte de reserva de 16, 22 não vistas (as 6 do adversário e as 16 do monte de reserva).
• 7 peças cada: 14 nas mãos, monte de reserva de 14, 21 não vistas.
• 8 peças cada: 16 nas mãos, monte de reserva de 12, 20 não vistas.
• 9 peças cada: 18 nas mãos, monte de reserva de 10, 19 não vistas.

Com 7 cada, exatamente metade do conjunto é distribuída. Cada aumento no tamanho da mão tira mais duas peças do monte de reserva, uma de cada lado da mesa. Com 9 cada, 18 das 28 peças, cerca de 64%, estão nas mãos antes de alguém jogar.

O monte de reserva deixa de ser uma rede de segurança

Quando você não consegue jogar, o app manda comprar do monte de reserva até poder jogar, ou passar quando ele está vazio. Um monte grande é um poço fundo para comprar. Um pequeno acaba mais cedo, e aí passar custa a sua vez.

A parcela das peças não vistas que está no monte de reserva é (28 − 2n) ÷ (28 − n):

• 6 cada: 16 ÷ 22 = 72.7%
• 7 cada: 14 ÷ 21 = 66.7%
• 8 cada: 12 ÷ 20 = 60.0%
• 9 cada: 10 ÷ 19 = 52.6%

Da sua posição, qualquer peça não vista tem a mesma chance de estar em qualquer um dos lugares. Com 6 cada, uma peça que você não vê está no monte de reserva cerca de 73% das vezes. Com 9 cada, é quase cara ou coroa. Isso importa para a contagem em contar peças: uma mão maior faz da mão do adversário uma parte maior do que você não vê, então o que você aprende com as compras e passes dele cobre mais peças em jogo.

Ficar travado fica mais raro

Cada número de 0 a 6 aparece exatamente em sete peças, como mostra a publicação sobre o conjunto de duplas de seis mostra. Uma mão não tem peça para um determinado número só se todas n as suas peças vierem das outras 21. A chance disso é o número de formas de escolher n peças entre 21, dividido pelo número de formas de escolher n entre 28:

• 6 peças: 54,264 ÷ 376,740 = 14.4%
• 7 peças: 116,280 ÷ 1,184,040 = 9.8%
• 8 peças: 203,490 ÷ 3,108,105 = 6.5%
• 9 peças: 293,930 ÷ 6,906,900 = 4.3%

Leia isso como a chance de você não encontrar, a partir da sua mão inicial, uma ponta aberta mostrando esse número, antes que qualquer peça seja jogada. Contra duas pontas diferentes, digamos 4 e 2, treze peças encaixam, então só 15 peças não encaixam em nenhuma das duas. A chance de uma mão sem nenhuma das 13 é 5,005 ÷ 376,740 = 1.3% com 6 peças e 5,005 ÷ 6,906,900 = 0.07% com 9. Ter uma jogada no início é quase certo em todos os tamanhos. A diferença aparece tarde, quando a linha já consumiu as peças que encaixam.

A mesma soma de 7 em 28 vale para qualquer grupo de sete peças. As sete duplas são um desses grupos, então a chance de não ter nenhuma dupla também é 14.4%, 9.8%, 6.5% e 4.3%. Dito de outra forma, 85.6%, 90.2%, 93.5% e 95.7% das mãos têm pelo menos uma. As duplas merecem atenção por causa de como pontuam numa ponta aberta.

Mais pontos para carregar

O conjunto tem 168 pontos em 28 peças, uma média de 6 por peça. Uma mão de n peças tem, portanto, uma média de 6n pontos: 36, 42, 48 e 54. São médias, não promessas, já que uma mão real pode ficar bem acima ou abaixo. Uma dupla numa ponta aberta conta os dois pontos, então só a 6-6 vale 12 no total da ponta, e uma mão maior tem mais chances de ter peças pesadas como ela.

Mãos mais longas, jogos mais longos

Para bater, você precisa jogar todas as peças, então o menor número de turnos possível é n: 6, 7, 8 ou 9. Isso é um piso, não um tamanho típico, porque uma compra acrescenta uma peça que você também precisa jogar. As chances de achar um encaixe enquanto compra mudam conforme a linha cresce, como mostra comprar do monte de reserva .

Escolhendo um tamanho

• 6 peças: o maior monte de reserva (16) e a maior chance de uma mão com um número faltando (14.4%).
• 7 peças: o ponto de equilíbrio, com metade do conjunto distribuída e um monte de reserva de 14 peças.
• 8 ou 9 peças: mais opções a cada turno, um monte de reserva de 12 ou 10, e uma mão que raramente fica sem um número (6.5% e 4.3%). Você carrega mais pontos, e com 9 as 9 peças do adversário são 9 das 19 que você não vê.

Qualquer que seja a escolha, as contas acima são as mesmas para refazer conforme o jogo avança: peças vistas, peças não vistas e quantas das não vistas encaixariam nas pontas.