Fives and Threes Dominoes te permite empezar con 6, 7, 8 o 9 fichas por jugador. El juego tiene un conjunto fijo de 28 fichas, así que la elección es un intercambio: las fichas en tu mano son fichas que no están en el pozo. Esta entrada pone cifras a ese intercambio en una partida de dos jugadores, usando solo aritmética que puedes repetir tú mismo.
Lo que queda
A dos jugadores se les reparten n fichas cada uno, y lo que sobra es el pozo: 28 − 2n. The table below also shows how much of the set is already in hands, and how many tiles are unseen from your side. Unseen means everything except your own hand, so it is the opponent's tiles plus the boneyard: 28 − n.
- 6 fichas cada uno: 12 en manos, pozo de 16, 22 no vistas (las 6 del rival y las 16 del pozo).
- 7 fichas cada uno: 14 en manos, pozo de 14, 21 no vistas.
- 8 fichas cada uno: 16 en manos, pozo de 12, 20 no vistas.
- 9 fichas cada uno: 18 en manos, pozo de 10, 19 no vistas.
Con 7 cada uno, se reparte exactamente la mitad del conjunto. Cada subida en el tamaño de la mano saca dos fichas más del pozo, una de cada lado de la mesa. Con 9 cada uno, 18 de las 28 fichas, alrededor del 64%, están en manos antes de que nadie haya jugado.
El pozo deja de ser una red de seguridad
Cuando no puedes jugar, la app te hace robar del pozo hasta que puedas, o pasar cuando está vacío. Un pozo grande es un pozo profundo del que robar. Uno pequeño se agota antes, y pasar entonces te cuesta el turno.
La proporción de fichas no vistas que están en el pozo es (28 − 2n) ÷ (28 − n):
- 6 cada uno: 16 ÷ 22 = 72.7%
- 7 cada uno: 14 ÷ 21 = 66.7%
- 8 cada uno: 12 ÷ 20 = 60.0%
- 9 cada uno: 10 ÷ 19 = 52.6%
Desde tu asiento, cualquier ficha no vista tiene la misma probabilidad de estar en uno u otro sitio. Con 6 cada uno, una ficha que no ves está en el pozo alrededor del 73% de las veces. Con 9 cada uno es apenas mejor que cara o cruz. Eso importa para el recuento de contar fichas: una mano más grande hace que la mano del rival sea una parte mayor de lo que no puedes ver, así que lo que aprendes de sus robos y pases cubre más de las fichas en juego.
Quedarse atascado se vuelve menos frecuente
Cada número del 0 al 6 aparece exactamente en siete fichas, como muestra la entrada sobre el conjunto doble seis muestra. Una mano no tiene ninguna ficha de un número dado solo si todas n sus fichas salen de las otras 21. La probabilidad es el número de formas de elegir n fichas de 21, dividido entre el número de formas de elegir n de 28:
- 6 fichas: 54,264 ÷ 376,740 = 14.4%
- 7 fichas: 116,280 ÷ 1,184,040 = 9.8%
- 8 fichas: 203,490 ÷ 3,108,105 = 6.5%
- 9 fichas: 293,930 ÷ 6,906,900 = 4.3%
Léelo como la probabilidad de no poder cubrir un extremo abierto que muestre ese número con tu mano inicial, antes de jugar ninguna ficha. Contra dos extremos distintos, digamos 4 y 2, encajan trece fichas, así que solo 15 fichas fallan en ambos. La probabilidad de una mano sin ninguna de las 13 es 5,005 ÷ 376,740 = 1.3% con 6 fichas, y 5,005 ÷ 6,906,900 = 0.07% con 9. Tener una jugada al principio es casi seguro en cualquier tamaño. La diferencia aparece más tarde, cuando la línea ha tomado las fichas que encajan.
La misma suma de 7 de 28 sirve para cualquier grupo de siete fichas. Los siete dobles son uno de esos grupos, así que la probabilidad de no tener ningún doble también es 14.4%, 9.8%, 6.5% y 4.3%. Dicho al revés, el 85.6%, 90.2%, 93.5% y 95.7% de las manos tienen al menos uno. Los dobles merecen tenerse en cuenta por cómo puntúan en un extremo abierto.
Más puntos que llevar
El conjunto tiene 168 puntos en 28 fichas, una media de 6 por ficha. Una mano de n fichas tiene por tanto una media de 6n puntos: 36, 42, 48 y 54. Son medias, no promesas, ya que una mano real puede quedar muy por encima o por debajo. Un doble en un extremo abierto cuenta sus dos puntos, así que el 6-6 solo vale 12 hacia el total de un extremo, y una mano más grande tiene más opciones de tener fichas pesadas como esa.
Manos más largas, partidas más largas
Para terminar tienes que jugar cada ficha, así que el menor número posible de turnos es n: 6, 7, 8 o 9. Eso es un mínimo, no una longitud típica, porque un robo añade una ficha que luego también tienes que jugar. Las probabilidades de encontrar encaje mientras robas cambian a medida que crece la línea, como robar del pozo muestra.
Elegir un tamaño
- 6 fichas: el pozo más grande (16) y la mayor probabilidad de una mano con un número ausente (14.4%).
- 7 fichas: el punto de equilibrio, con la mitad del conjunto repartido y un pozo de 14 fichas.
- 8 o 9 fichas: más opciones en cada turno, un pozo de 12 o 10, y una mano que rara vez carece de un número (6.5% y 4.3%). Llevas más puntos, y con 9 las 9 fichas del rival son 9 de las 19 que no puedes ver.
Elijas lo que elijas, las sumas de arriba son las mismas que conviene repetir según avanza la partida: fichas vistas, fichas no vistas y cuántas de las no vistas encajarían en los extremos.
Fives and Threes Dominoes es una partida individual contra un rival informático en Casual o Competitivo, hasta un objetivo de 61, 121, 181 o 241 puntos, y tú eliges empezar con 6, 7, 8 o 9 fichas cada uno. Si no puedes jugar, robas del pozo hasta que puedas, o pasas cuando está vacío. No hay anuncios ni compras dentro de la app, y los puntos existen solo dentro del juego, sin valor en dinero.