Старт с 6, 7, 8 или 9 костяшками: как размер руки меняет игру

В Fives and Threes Dominoes можно начать с 6, 7, 8 или 9 костяшками на игрока. Набор фиксированный, 28 костяшек, поэтому выбор — это компромисс: костяшки на руке — это костяшки не в базаре. В этой записи для игры вдвоём показаны цифры этого компромисса, и все расчёты можно повторить самостоятельно.

Что остаётся

Двум игрокам раздают по n костяшек каждому, а остаток — это базар: 28 − 2n. The table below also shows how much of the set is already in hands, and how many tiles are unseen from your side. Unseen means everything except your own hand, so it is the opponent's tiles plus the boneyard: 28 − n.

• по 6 костяшек: 12 на руках, базар из 16, 22 невидимых (6 у соперника и 16 в базаре).
• по 7 костяшек: 14 на руках, базар из 14, 21 невидимая.
• по 8 костяшек: 16 на руках, базар из 12, 20 невидимых.
• по 9 костяшек: 18 на руках, базар из 10, 19 невидимых.

При 7 на каждого раздаётся ровно половина набора. Каждый шаг вверх по размеру руки забирает из базара ещё две костяшки, по одной с каждой стороны стола. При 9 на каждого 18 из 28 костяшек, около 64%, уже на руках до того, как кто-либо сыграл.

Базар перестаёт быть страховкой

Когда вы не можете сыграть, приложение заставляет брать из базара, пока не получится, или пасовать, если он пуст. Большой базар — глубокий колодец для добора. Маленький заканчивается раньше, и тогда пас стоит вам хода.

Доля невидимых костяшек, которые лежат в базаре, равна (28 − 2n) ÷ (28 − n):

• по 6: 16 ÷ 22 = 72,7%
• по 7: 14 ÷ 21 = 66,7%
• по 8: 12 ÷ 20 = 60,0%
• по 9: 10 ÷ 19 = 52,6%

С вашего места любая невидимая костяшка с одинаковой вероятностью лежит в любом из двух мест. При 6 на каждого невидимая вами костяшка находится в базаре примерно в 73% случаев. При 9 на каждого шансы почти как у броска монеты. Это важно для подсчёта в подсчёте костей: большая рука делает руку соперника большей частью того, что вы не видите, поэтому то, что вы узнаёте из его добора и пасов, охватывает больше костяшек в игре.

Застрять становится реже

Каждое число от 0 до 6 приходится ровно на семь костяшек, как показано в записи о наборе дуплетов до шести . Рука не имеет костяшки с данным числом, только если все n её костяшки взяты из остальных 21. Шанс этого равен числу способов выбрать n костяшек из 21, делённому на число способов выбрать n из 28:

• 6 костяшек: 54 264 ÷ 376 740 = 14,4%
• 7 костяшек: 116 280 ÷ 1 184 040 = 9,8%
• 8 костяшек: 203 490 ÷ 3 108 105 = 6,5%
• 9 костяшек: 293 930 ÷ 6 906 900 = 4,3%

Это значит, что шанс не встретить со стартовой руки открытый конец с данным числом, до того как сыграна хоть одна костяшка. Против двух разных концов, например 4 и 2, подходят тринадцать костяшек, поэтому только 15 не подходят ни к одному. Шанс руки без каких-либо из 13 равен 5 005 ÷ 376 740 = 1,3% при 6 костяшках и 5 005 ÷ 6 906 900 = 0,07% при 9. Возможность сыграть в начале почти наверняка при любом размере. Разница проявляется позже, когда линия забрала подходящие костяшки.

Та же сумма 7 из 28 относится к любой группе из семи костяшек. Семь дуплетов как раз такая группа, поэтому шанс не держать вообще ни одного дуплета тоже 14,4%, 9,8%, 6,5% и 4,3%. Иначе говоря, 85,6%, 90,2%, 93,5% и 95,7% рук содержат хотя бы один. Дуплеты стоит иметь в виду из-за того, как они считаются на открытом конце как они засчитываются на открытом конце.

Больше очков на руке

В наборе 168 очков на 28 костяшках, в среднем по 6 на костяшку. Рука из n костяшек поэтому в среднем имеет 6n очков: 36, 42, 48 и 54. Это средние, а не обещания, поскольку конкретная рука может сильно отличаться в любую сторону. Дуплет на открытом конце считается обоими своими очками, поэтому 6-6 одна стоит 12 к сумме конца, и большая рука имеет больше шансов держать такие тяжёлые костяшки.

Длинные руки, длинные игры

Чтобы выйти, нужно сыграть все костяшки, поэтому наименьшее число ходов равно n: 6, 7, 8 или 9. Это нижняя граница, а не типичная длина, потому что добор добавляет костяшку, которую затем тоже нужно сыграть. Шансы найти подходящую костяшку при добирании меняются по мере роста линии, как показано в добор из базара .

Выбор размера

• 6 костяшек: самый большой базар (16) и самый высокий шанс руки с отсутствующим числом (14,4%).
• 7 костяшек: точка равновесия, половина набора роздана, а базар из 14 костяшек.
• 8 или 9 костяшек: больше выбора на каждом ходу, базар из 12 или 10, и рука, которой редко не хватает числа (6,5% и 4,3%). Вы несёте больше очков, а при 9 девять костяшек соперника — это 9 из 19, которые вы не видите.

Что бы вы ни выбрали, приведённые выше расчёты те же, что стоит повторять по ходу игры: сыгранные костяшки, невидимые костяшки и сколько из невидимых подойдут к концам.