Две пары с добором: как часто выходит фулл-хаус

Вам сдали 9-9-5-5-K. Против дилера у вас уже есть две пары, которые бьют любую одиночную пару. Вопрос в том, что делать с королём. Поменяйте его, и примерно одна карта из двенадцати даст фулл-хаус. Остальные одиннадцать оставят вас с двумя парами, то есть с тем, что у вас было и раньше.

Подсчет аутов

Вы видите пять карт, поэтому 47 остаются невидимыми. Для фулл-хауса нужна третья карта, совпадающая с одной из ваших пар. Две девятки и две пятёрки у вас на руках, поэтому две девятки и две пятёрки остаются невидимыми: 4 аута.

4 ÷ 47 = 8.51%

Промах — 43 ÷ 47 = 91.49%. Как шансы, это 43 к 4 против, или 10.75 к 1. Put the other way round, 47 ÷ 4 = 11.75, so a full house arrives once in 11.75 attempts on average. Which ranks you hold does not matter, only that there are two pairs.

Поскольку лишнюю карту вы сбрасываете, добор не может ухудшить руку. Из 47 карт 4 дают фулл-хаус, а остальные 43 оставляют две пары, включая любую карту, совпадающую с отброшенным королём. Я проверил это, перебрав все 47 возможных добров: 4 фулл-хауса и 43 руки с двумя парами, больше ничего.

Три способа получить фулл-хаус

Фулл-хаус можно собрать из трёх разных стартовых раскладов. Каждый — это подсчёт аутов среди карт, которые ещё можно получить:

• Две пары, меняем одну карту. 4 выигрышные карты из 47: 8.51%.
• Сет, меняем две карты. Две карты приходят из 47 невидимых, давая 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 возможный добор. Пусть у вас три дамы, и вы сбрасываете 7 и 3. Фулл-хаус требует, чтобы две новые карты образовали пару какого-то другого достоинства. У десяти достоинств осталось по четыре карты (по 6 пар), а у 7 и 3 — по три (по 3 пары): 10 × 6 + 2 × 3 = 66. Значит, 66 ÷ 1,081 = 6.11%. Одна оставшаяся дама даёт каре вместо этого, в 46 из 1,081 добора, или 4.26%.
• Одна пара, меняем три карты. Возможны 16,215 добиров, и 165 из них дают фулл-хаус: 165 ÷ 16,215 = 1.02%. Запись о улучшении пары при обмене карт содержит всю таблицу.

Порядок, возможно, не такой, как вы ожидаете. Сет выглядит сильнее двух пар, но ему нужны две точные карты, пришедшие вместе, тогда как двум парам нужна лишь одна. Поэтому две пары в 1.39 раза вероятнее станут фулл-хаусом (8.51 ÷ 6.11), хотя начинают с меньшим числом одинаковых карт.

Цена ожидания

Шанс 8.51% достаточно редок, поэтому несколько попыток — обычное дело, прежде чем что-то выйдет. За пять отдельных раздач с двумя парами и одним обменом в каждой шанс промахнуться каждый раз равен (43 ÷ 47)⁵ = 64.1%. Шанс хотя бы одного фулл-хауса — 35.9%. Сухая серия из пяти — поэтому обычный исход, а не невезение.

Если у обмена есть цена c, вы теряете её при промахе и получаете G при попадании. Обмен окупается, когда 4 ÷ 47 × G = 43 ÷ 47 × c, поэтому G = 10.75c. A full house must be worth a little over ten times the price of the attempt, measured against keeping two pair, before drawing pays for itself on average. That is a much higher bar than the one for a flush draw: девять аутов требуют лишь около 4.2 цены.

Чего стоит фулл-хаус против дилера

Фулл-хаус старше стрита, флеша и сета, и бьют его только каре и стрит-флеши. Он также редок: 3,744 из 2,598,960 возможных пятикарточных рук — фулл-хаусы, то есть 0.144%. Эту таблицу частоты пятикарточных рук ставит в контекст. Две пары, напротив, — неплохая, но не надёжная рука: дилер, у которого старше две пары или сет, всё равно её побьёт. Когда две руки одной категории, правила разрешения ничьих решают исход.

Чек-лист за столом

1. Посчитайте две пары. Каждая пара оставляет две карты, поэтому 2 + 2 = 4 аута.
2. Делите на 47. 4 ÷ 47 — это 8.51%, или 43 к 4 против.
3. Сравните цену. Фулл-хаус должен стоить около 10.75 цены обмена, чтобы окупиться.

Эти цифры — обычная пятикарточная математика. В описании магазина Poker vs Dealer сказано, что можно держать свою руку, заплатить антэ, чтобы выковать карту, обменяв её на новую, или выйти и вернуть половину вложенных фишек. Таблица правил и выплат в самой игре — место, где стоит проверить, сколько стоит ковка и как она рассчитывается, потому что именно эти детали решают, стоит ли брать длинный шанс.