Deux paires en tirage : à quelle fréquence elles deviennent un full

Vous recevez 9-9-5-5-K. Face au croupier, vous avez déjà deux paires, qui battent toute paire simple. La question est quoi faire du roi. Échangez-le, et une carte sur environ douze vous donne un full. Les onze autres vous laissent avec deux paires, ce que vous aviez déjà.

Compter les outs

Vous voyez cinq cartes, donc 47 sont inconnues. Un full demande une troisième carte qui correspond à l'une de vos paires. Deux neuf et deux cinq sont dans votre main, donc deux neuf et deux cinq restent inconnus : 4 outs.

4 ÷ 47 = 8.51%

Le raté est de 43 ÷ 47 = 91.49%. En cote, cela fait 43 contre 4 défavorable, soit 10.75 contre 1. Put the other way round, 47 ÷ 4 = 11.75, so a full house arrives once in 11.75 attempts on average. Which ranks you hold does not matter, only that there are two pairs.

Comme vous jetez la carte isolée, le tirage ne peut pas rendre la main pire. Sur les 47 cartes, 4 donnent un full et les 43 autres laissent deux paires, y compris toute carte de même valeur que le roi jeté. J'ai vérifié en listant les 47 tirages possibles : 4 fulls et 43 mains à deux paires, rien d'autre.

Trois façons d'atteindre un full

Un full peut être construit à partir de trois mains de départ différentes. Chacune est un comptage des outs sur les cartes que vous pouvez encore recevoir :

• Deux paires, échange d'une carte. 4 cartes gagnantes sur 47 : 8.51%.
• Brelan, échange de deux cartes. Deux cartes viennent des 47 inconnues, soit 47 × 46 ÷ 2 = 1,081 tirages possibles. Supposons que vous ayez trois dames et que vous jetiez un 7 et un 3. Un full exige que les deux nouvelles cartes forment une paire d'une autre valeur. Dix valeurs ont encore quatre cartes (6 paires chacune) et le 7 et le 3 en ont encore trois (3 paires chacune) : 10 × 6 + 2 × 3 = 66. Donc 66 ÷ 1,081 = 6.11%. La dame restante donne un carré à la place, dans 46 des 1,081 tirages, soit 4.26%.
• Une paire, échange de trois cartes. Il y a 16,215 tirages possibles, dont 165 donnent un full : 165 ÷ 16,215 = 1.02%. L'article sur améliorer une paire quand on échange des cartes présente la table complète.

L'ordre n'est peut-être pas celui qu'on imagine. Le brelan semble plus fort que la double paire, mais il lui faut deux cartes exactes arrivant ensemble, alors que la double paire n'en a besoin que d'une. La double paire est donc 1.39 fois plus susceptible de devenir un full (8.51 ÷ 6.11), même si elle part avec moins de cartes d'une même valeur.

Le coût de l'attente

Une chance de 8.51% est assez rare pour que plusieurs tentatives soient normales avant qu'une ne réussisse. Sur cinq mains séparées avec deux paires et un échange chacune, la chance de tout rater est (43 ÷ 47)⁵ = 64.1%. La chance d'au moins un full est de 35.9%. Une série de cinq ratés est donc l'issue habituelle, pas la malchance.

Si un échange a un prix c, vous le perdez en cas d'échec et gagnez G en cas de réussite. L'échange est à l'équilibre quand 4 ÷ 47 × G = 43 ÷ 47 × c, soit G = 10.75c. A full house must be worth a little over ten times the price of the attempt, measured against keeping two pair, before drawing pays for itself on average. That is a much higher bar than the one for a flush draw: neuf outs n'ont besoin que d'environ 4.2 fois le prix.

Ce que vaut un full face au croupier

Un full bat une quinte, une couleur et un brelan, et seuls le carré et les quintes flush le dépassent. Il est aussi rare : 3,744 des 2,598,960 mains de cinq cartes possibles sont des fulls, soit 0.144%. Le tableau de fréquence des mains de cinq cartes le met en contexte. La double paire, en revanche, est une main correcte mais pas sûre : un croupier qui finit avec une double paire supérieure, ou avec un brelan, la bat encore. Quand deux mains sont de même catégorie, les règles de départage décident du résultat.

Liste de contrôle à la table

1. Comptez les deux paires. Chaque paire laisse deux cartes, donc 2 + 2 = 4 outs.
2. Divisez par 47. 4 ÷ 47 vaut 8.51%, soit 43 contre 4 défavorable.
3. Comparez le prix. Le full doit valoir environ 10.75 fois le coût de l'échange pour être à l'équilibre.

Ces chiffres sont des calculs simples sur des mains de cinq cartes. La fiche du magasin de Poker vs Dealer indique que vous pouvez garder votre main, payer une mise pour forger une carte en l'échangeant contre une nouvelle, ou abandonner et récupérer la moitié de vos jetons engagés. L'écran des règles et des gains du jeu est l'endroit où vérifier le coût d'une forge et son règlement, car ces détails déterminent si une chance improbable vaut la peine.